Dm : statistiques-fonction

Bonjour,

Je suis bloquée sur mon DM de maths depuis ce matin, je comprends pas tout. Pourriez vous m'aider s'il vous plait ? Merci beaucoup d'avance. Voici l'exercice :

*Soit x1, ... , xp une séries statistique d'effectifs n1, ... , np. On note N l'effectif total. Le but de cet exercice est de démontrer que la moyenne x barre est le réel qui rend minimale la somme des carrés des écarts aux valeurs de la séries. *On considère donc la fonction f définie sur R par f(x)=1/N∑ni(xi-x)²

Dans cette question, on prend p=2
a) Montrer que f(x)=1/N[(n1+n2)x²-2(n1x1+n2x2)x+(n1x1²+n2x2²)]
Pour cette question j'ai développer la formule de l'énoncé et ça m'a bien donné cette fonction. Mais ensuite je vois pas ce qu'il y a à conclure ?
b) Conclure
On suppose maintenent que p est un entier naturel non nul quelconque
a) Montrer que f est une fonction polynome du second degré dont on déterminera les coefficients
Pour cette question je sais pas comment faire sans valeur de p, on enleve ∑ ? ou on le mutiplie avec les terme du dévelopemment, comme ceci:
1/N[∑nix²-∑2nixix+∑nixi² ???
b) déterminer le sens de variation de la fonction f. Dresser son tableau de variation.
Faut-il juste faire en fonction de a>0 ? ou chercher des valeurs ?
c) Conclure
Justifier alors la définition de la variance. Pour quelle raison l'écart type est une caractéristique de dispersion de la série associée a la moyenne ?

Voilà, Merci !

Bonsoir Catherine9,

Indique tes calculs.

Bonsoir,

1)a)
f(x)= 1/N ∑ ni(xi-x)²
= 1/N[n1(x1-x)²+n2-x2-x)²]
= 1/N[n1x1²+n1x²-n1²x1x+n2x2²+n2x²-n22x2²]
=1/N[(n1+n2)x²-2(n1x1+n2x2)x+(n1x1²+n2x2)²]
donc f(x) est bien égale à cette formule..
C'est juste ?
Je peux conclure quoi ?

Merci !

Des erreurs de parenthèses et de 2 oublié.

Cherche le minimum de cette fonction.

Mince, j'ai mal recopier je crois désolé
Je le trouve comment le minimum ?
-b/2a ?

Oui avec -b/2a

ça fait -x1+x2 si je me suis pas trompée, et alors ?

Oui, c'est faux
A quoi est égal a ?
b ?

a= n1+n2
et b=-2(n1x1+n2x2)

Il manque /N.

Calcule ensuite -b/2a puis analyse le résultat.

Ah c'est vrai le N ..
j'ai recalculer mais c'est toujours faut je crois je trouve:
(n1x1+n2x2)/(n1+n2)

C'est corect. Tu conclus que on obtient bien la moyenne.

Ah merci !
Par contre pour la question 2)a) je np et xp à la place de n2 et x2 ?

Pour la question 2 b) tu utilises le même raisonnement que pour la question 1b

J'ai fait ça : mais il y a surement des erreurs
f(x)= 1/N ∑ ni(xi-x)²
= 1/N[n1(x1-x)²+(np-xp-x)²]
= 1/N[n1x1²+n1x²-n1²x1x+npxp²+npx²-np2xp²]
=1/N[(n1+np)x²-2(n1x1+npxp)x+(n1x1²+npxp)²]
Donc on a a= (n1+np)/N
b= -2(n1x1+npxp)/N
et c= (n1x1²+npxp²)/N
c'est bien une fonction polynome du second degrés,
je calcule alors l'extremum -b/2a = (n1x1+npxp)/(n1+np)
C'est bien la moyenne, pour n'importe qu'elle entier naturel,
et ici a>0 donc la fonction est décroissante puis croissante,
C'est correct ??
Merci !

Tu as oublié des termes, c'est le cas général avec p termes.

Je comprends pas...
Il faut enlever n1 et x1 ?

Tu as p termes :
1/N[(n1+.... + np)x²-2(n1x1+.... + npxp)x+(n1x1²+..... + npxp)²]

Mais je n'ai pas le droit de laisser des points entre les deux si ?