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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Barycentres

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 08.01.2012, 14:50

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enregistré depuis: janv.. 2012
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dernière visite: 15.03.12
Bonjour,
ABC est un triangle du plan. On désigne par M le barycentre du système A(x);B(y) et C(z) avec x+y+z≠;0. a;b;c sont trois nombres non nuls tels que a≠b, a≠c, b≠c.
A'=Bar\left\{A(0),B(b),C(-c) \right\}; B'=Bar\left\{A(-a),B(0),C(c) \right\} et C'=Bar\left\{A(a),B(-b),C(0) \right\}
1-Etablir la relation (b-c)\vec{MA'}+(c-a)\vec{MB'}+(a-b)\vec{MC'}=\vec{0}.
2-En déduire que A', B', C' sont alignés sur une droite \Delta.
3-Démontrer que pour tout point M de \Delta, \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0.

J'ai de la difficulté pour la question 3.

Voici mes réponses pour 1 et 2:
1-On a A'=Bar[\left\{A(0),B(b),C(-c) \right\} donc,
(b-c)\vec{MA'}=b\vec{MB}-c\vec{MC}
-On a B'=Bar\left\{A(-a),B(0),C(c) \right\} donc,
(c-a)\vec{MB'}=-a\vec{MA}+c\vec{MC}
-On a C'=Bar[\left\{A(a),B(-b),C(0) \right\} donc,
(a-b)\vec{MC'}=a\vec{MA}-b\vec{MB}
Par addition on obtient:
(b-c)\vec{MA'}+(c-a)\vec{MB'}+(a-b)\vec{MC'}=b\vec{MB}-c\vec{MC}-a\vec{MA}+c\vec{MC}+a\vec{MA}-b\vec{MB}
donc (b-c)\vec{MA'}+(c-a)\vec{MB'}+(a-b)\vec{MC'}=\vec{0}
2- Puisque b-c+c-a+a-b=0, donc (b-c)\vec{MA'}+(c-a)\vec{MB'}+(a-b)\vec{MC'} est un vecteur constant, alors on peut écrire:
(c-a)\vec{A'B'}+(a-b)\vec{A'C'}=\vec{0}
On peut écrire donc \vec{A'B'} en fonction de\vec{A'C'}, ce qui montre que A',B',C' sont alignés.
Mais pour la question 3, je n'ai aucune idée. Merci d'avance




modifié par : mtschoon, 09 Jan 2012 - 10:23
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Envoyé: 08.01.2012, 15:25

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dernière visite: 25.09.17
Bonjour rinjaritra,

Utilise le fait que le point M est le barycentre des points A, B et C avec les coefficients x, y et z.
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Envoyé: 08.01.2012, 15:56

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enregistré depuis: janv.. 2012
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dernière visite: 15.03.12
Merci, J'ai fait mais je suis bloqué encore:
x\vec{MA}+y\vec{MB}+z\vec{MC}=0
mais je ne sais pas continuer avec cela.

modifié par : rinjaritra, 08 Jan 2012 - 18:57
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Envoyé: 09.01.2012, 10:53

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enregistré depuis: févr.. 2011
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Bonjour,

Une piste possible pour la question 3 , si tu n'as rien trouvé .

Tu sais que A'=Bar{(B,b),(C,-c)}
Donc , pour tout α non nul A'=Bar{(B,αb),(C,-αc)}

Tu sais que B'=Bar{(C,c),(A,-a)}
Donc , pour tout β non nul A'=Bar{(C,βc),(A,-βa)}

Tu sais que C'=Bar{(A,a),(B,-b)}
Donc , pour tout δ non nul c'=Bar{(a,δa),(B,-δb)}

Vu que A' , B' , C' son alignés ( sur Δ ) , M peut être considéré comme barycentre de A' , B' , C'

En utilisant la propriété d'associativité des barycentres :

M=Bar{(B,αb),(C,-αc),(C,βc),(A,-βa),(A,δa),(B,-δb) }

En regroupant :

M=Bar{(A,δa-βa) , (B,αb-δb) , (C,βc-αc)}

M=Bar{(A,a(δ-β)) , (B,b(α-δ)) , (C,c(β-α))}

( impose les conditions δ-β≠0,α-δ≠0,β-α≠0)

Or : M=Bar{(A,x),(B,y),(C,z)}

les coefficients sont donc proportionnels :

Il existe k tel que :

\frac{x}{a(\delta-\beta)}=\frac{y}{b(\alpha-\delta)}=\frac{z}{c(\beta-\alpha)}=k

Je te laisse arriver à l'égalité demandée.

Remarque ; j'ignore à quoi sert cet exercice , mais cette question me parait bien difficile pour un exercice classique de TS .
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