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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Fonction Ln

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
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Envoyé: 07.01.2012, 13:27

Voie lactée


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Bonjour, pouvez-vous m'aider à faire la suite de cet exercice s'il vous plait ?

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+∞[ par f(x)= x + Ln x
On nomme T sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j) du plan.

1)a) déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
J'ai trouvé lim f(x) quand x-> 0 = -∞ et lim f(x)= +∞ quand x->+∞

B) montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;+∞[. Pour cette question, j'ai fait étudié le signe de f'(x) qui s'avère etre positif et j'en ai donc déduis que f(x) est strictement croissante, le tout dans un tableau.

2a) montrer que, pour tout entier naturel n, l'equation f(x)=n admet une unique solution dans ]0;+∞[. on note "alpha"n cette solution.
On a donc: pour tout entier naturel n, alphan + Ln alphan=n

B) préciser la valeur de alpha1

C) démontrer que la suite alphan est strictement croissante

3)a) déterminer une équation de la tangente a la courbe au point A d'abscisse 1. Ici je trouve y= 2x+ 1

B) étudier les variations de la fonction h définie sur ]0;+∞[ par : h(x)= Lnx -x+1. je trouve que h(x) est croissante de 0à 1 puis décroissante de 1 à + ∞ à l'aide d'un tableau de signe.
En déduire la position de courbe par rapport à la tangente. Ici, je pensais à calculer la différence h(x)-(2x-1); si le résultat est positif la courbe est au dessus de la tangente et inversement si le résultat est négatif.

C) démontrer que pour tout entier naturel n non nul, (n+1)/2 ≤ alphan

4) déterminer la limite de la suite alphan

Merci, cordialement
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Envoyé: 07.01.2012, 14:26

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Bonjour Mestena,

Le début est juste.
Pour la question 2 a) Utilise le théorème des valeurs intermédiaires.

Vérifie le calcul pour l'équation de la tangente.

modifié par : Noemi, 07 Jan 2012 - 14:29
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Envoyé: 07.01.2012, 14:53

Voie lactée


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Merci pour votre réponse. Dans mon cours, le théorème des valeurs intermédiaires m'indique une définition qui s'applique avec f(x)=0. Comment je fais étant donné que n n'est pas égale à 0?
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Envoyé: 07.01.2012, 14:57

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Indique le théorème.
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Envoyé: 07.01.2012, 15:05

Voie lactée


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Soit f une fonction continue sur un intervalle I, soit a et b deux nombres appartenant à I. Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors il existe au moins un nombre réel C dans I, vérifiant f(C)=0
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Envoyé: 07.01.2012, 15:19

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Tu n'as pas dans ton cours :
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit a et b deux réels dans I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un réel c entre a et b tel que f(c)=k.
Ou le corollaire :
Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I. Soit a et b deux réels dans I.
Alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe un seul réel c entre a et b tel que f(c)=k.
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Envoyé: 07.01.2012, 15:33

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Si je l'ai, on l'a appelé théorème de bijection. Mais je ne vois toujours pas comment m'y prendre pour trouver la valeur de n, et pas seulement que n existe ..



modifié par : Mestena, 07 Jan 2012 - 15:40
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Envoyé: 07.01.2012, 15:44

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Il est demandé alpha1
donc si n = 1 , .....
puis pour n = 2,
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Envoyé: 07.01.2012, 16:22

Voie lactée


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Je comprends pas ...
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Envoyé: 07.01.2012, 16:48

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la question 2 b) est préciser la valeur de alpha1.
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Envoyé: 07.01.2012, 17:06

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Si n=1, f(x)=1
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Envoyé: 07.01.2012, 17:14

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oui,
et si n = 2 ? alpha n > ...
...
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Envoyé: 07.01.2012, 17:32

Voie lactée


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Alpha n > f(x) ?
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Envoyé: 07.01.2012, 17:39

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alpha n > n
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Envoyé: 07.01.2012, 17:42

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Ah oui.. Je suis un peu perdue, tout cela ne répond pas à la question 2a)?
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Envoyé: 07.01.2012, 18:02

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La question 2 a) correspond au théorème.
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Envoyé: 07.01.2012, 18:18

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D'accord mais je ne vois pas quel "calcul" je dois faire pour répondre à la question
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Envoyé: 07.01.2012, 18:28

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Tu as démontré que la fonction est croissante, donc tu écris le théorème, c'est suffisant.
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 11:24

Voie lactée


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D'accord. Et pour la question 2c) je dis juste que alpha n > n ?
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 14:04

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Pour démontrer que la suite est croissante, montre que alpha n+1 > alpha n.
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 14:25

Voie lactée


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Si n=1, alpha 1= 1
si n=2, alpha2 > alpha 1 avec alpha 2= 2,6
si n=3, alpha 3> alpha 2 avec alpha 3=4
si n=4, alpha 4> alpha 3 avec alpha 4= 5,3
donc alpha1+ Ln alpha1=n ; alpha 2+ ln alpha 2=n; etc.
Cest suffisant ?
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 14:29

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dernière visite: 25.09.17
Ce n'est pas suffisant, fait une démonstration par récurrence.
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 15:40

Voie lactée


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dernière visite: 06.05.12
C'est la suite alpa n+ Ln alpha n = n que je dois démontrer ou uniquement que alpha n+1> alpha 1?
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 15:57

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C'est la suite alpha n.
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 16:05

Voie lactée


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dernière visite: 06.05.12
Initialisation : je démontre que l'égalité alpha n+1 > alpha n avec le premier entier naturel 1. Alpha 1=1 ; alpha n+1=2,6 donc alpha n+1>alpha n
Hérédité : on suppose que l'egalite est vraie pour un entier naturel fixé p. Je démontre que l'egalite est vraie pour p+1 : alpha n+1=alpha 2=2,6 ; alpha 3=4 ; alpha 4= 5,3 ; alpha 5=6 ; etc.
Conclusion : la propriété est vraie pour tout entier naturel n
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 16:21

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dernière visite: 25.09.17
Pourquoi alpha n+1 = 2,6 ?

Il faut vérifier la relation pour alpha p+1 en utilisant la relation avec alpha p.
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 16:33

Voie lactée


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dernière visite: 06.05.12
Parce que je trouve avec ma calculatrice que f(2)=2,6 environ sinon je sais pas comment faire puisque la suite est définie juste avec alpha n ...
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 17:02

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dernière visite: 25.09.17
alpha2 vérifie alpha2 + lnalpha2 = 2

Vu que la fonction f est croissante
alors ....
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 17:07

Voie lactée


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Pourquoi lorsque je le fais, les résultats ne correspondent pas ? Par exemple pour alpha 2 + ln alpha 2 c'est égale à 2,6931+0,99 donc ce n'est pas égale à 2 comme ca devrait l'etre ...

Alors alpha 3 + Ln alpha 3= 3 et ainsi de suite ?
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 17:18

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dernière visite: 25.09.17
Attention alphan n'est pas égal à n.
sauf pour n = 1 ou alpha1 = 1

alpha2 vérifie
alpha2 + Ln alpha2 = 2
et alpha2 < 2 car ln alpha2 >0

la fonction f est croissante, les fonctions lnx et x sont croissantes,
la suite alphan est .....
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 17:24

Voie lactée


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dernière visite: 06.05.12
Donc la suite alpha n est croissante ?
Est-ce que alpha 2 = f(2)?

modifié par : Mestena, 08 Jan 2012 - 17:27
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 17:31

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dernière visite: 25.09.17
alpha2 n'est pas égal à f(2)
La suite alphan est croissante.
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 17:35

Voie lactée


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dernière visite: 06.05.12
Comment je fais pour trouver les valeur des différents alpha n alors ? Car jusqu'à présent je pensais que ça correspondait à f(n)...
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 17:36

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La valeur des alphan n'est pas demandée.
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 17:45

Voie lactée


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Ah d'accord .. Merci
Pour l'equation de la tangente, j'ai prit la formule : y= f'(1)(x-1)+f(1)
y= (1+1/1)(x-1)+ 1+ln1
Y= 2(x-1)+1+0
y=2x-2+1
Y= 2x-1
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Envoyé: 08.01.2012, 18:26

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dernière visite: 25.09.17
L'équation de la tangente est juste.
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Envoyé: 08.01.2012, 18:55

Voie lactée


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dernière visite: 06.05.12
Pour la 3b), est-ce que ma réponse est bonne ? (je l'ai posté avec l'enoncé)
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 19:18

Modératrice


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dernière visite: 25.09.17
Pour la question 3 b) applique le raisonnement que tu as écrit.
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 19:21

Voie lactée


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dernière visite: 06.05.12
D'accord, pouvez-vous me donner une piste pour la question question suivante s'il vous plait ?
Top 
Envoyé: 08.01.2012, 19:37

Modératrice


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dernière visite: 25.09.17
Pour la position de la courbe, tu étudies le signe de h(x).
Tu déduis que f(x) ≤ 2x - 1,
soit n ≤ 2 alphan - 1
D'ou
...
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