Barycentre, vecteur!!

Svp, j'ai besoin d'aide je comprend riena ce dm g 5 exercie les 3 derniers je les comprend mais les 2 premiers sont trops dur!!!
voila

ex1:
ABC triangle quelconque; A', B’, C’ les milieux respectifs de [BC], [AC], [AB].
O le centre du cercle circonscrit.

1° On veut montrer que G, isobarycentre des points A, B, C,
est aussi le centre de gravité du triangle.
Montrer que G appartient à (AA') ; conclure.

2° Soit K défini par la relation
OK $→^\rightarrow$ = OA $→^\rightarrow$ + OB $→^\rightarrow$ + OC $→^\rightarrow$
Montrer que (AK) est parallèle à (OA').
Quel est ce point K ?

3° Montrer que K est barycentre du système de points pondérés
(O,2) (A,-1) (B,-1) (C,-1).
En déduire que les points O, G et K sont alignés.

ex2:
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O, i $→^\rightarrow$ , j $→^\rightarrow$ ).
C et D sont les points de coordonnées respectives (1;0) et (-1;0).
M est un point quelconque du plan, dont les coordonnées sont notées (a;b).

1° Montrer que pour a différent de 1 et a différent de -1, (MC)et (MD) sont les représentations graphiques de 2 fonctions affines f et k.

Dans la suite de cet exercice, on suppose que cette condition est vérifiée.

a) Déterminer, en fonction de a, b et x les expressions de f(x) et k(x).

b) On note h la fonction f multiplié par k. Déterminer, en fonction de a, b et x l'expression de h(x).

2° On cherche l'ensemble des points M pour lesquels h a pour représentation graphique la parabole P d'équation y= -x²+1.

a) Montrer que: h a pour représentation graphique la parabole P d'équation y= -x²+1 si et seulement si (b²)/(a²-1) =-1.

b)En déduire la relation qui doit exister en a et b: la nature de l'ensemble des points M cherché et le construire.

3° Dans cette question, on cherche l'ensemble des points M pour lesquels h a pour représentation graphique la parabole P d'équation y= = x²+1.

a) Montrer que: h a pour représentation graphique la parabole P d'équation y= x²+1 si et seulement si (b²)/(a²-1) =1.

b) Soit g la fonction définie par g(x)= $s q r t$ (x²-1).
-Quel est le domaine de définition de g?
-Démontrer que g est paire.
-Démontrer que g est croissante dans [1;+ inf/ ], en déduire ses variations dans [-[smb]infini[/smb]:-1].
-Démontrer que, dans [1;+inf/ ], G(la représentation graphique) est en dessous de la première bissectrice(: y=x).
-A l'aide le la calculatrice, construire la représentation graphiqe de G de g.

c)Déduire des questions précédentes l'ensemble des points M cherché et le construire.

Merci a tous ceux qui prendront la peine de m'aider !!
kiss

Rassure nous tu as réussi à répondre à un certain nombre de questions !!

On ne va pas être obligé de t'aider sur l'ensemble de ce long sujet !!

Explique nous ce que tu as fait et ce que tu ne sais pas faire pour qu'on gagne du temps.

Zorro
Rassure nous tu as réussi à répondre à un certain nombre de questions !!

On ne va pas être obligé de t'aider sur l'ensemble de ce long sujet !!

Explique nous ce que tu as fait et ce que tu ne sais pas faire pour qu'on gagne du temps.
J'ai réussi la première kestion de l'ex1 et les la première et la dernière kestion de l'ex 2! pourriez vous m'aider pour la 2et 3 de l'ex 1 et la 2 de lex 3!!
voila

2°) dans OK $→^\rightarrow$ = OA $→^\rightarrow$ + OB $→^\rightarrow$ +OC $→^\rightarrow$

on utilise Chasles : OK $→^\rightarrow$ = OA $→^\rightarrow$ + AK $→^\rightarrow$ donc

OA $→^\rightarrow$ + AK $→^\rightarrow$ = OA $→^\rightarrow$ + OB $→^\rightarrow$ +OC $→^\rightarrow$ donc

AK $→^\rightarrow$ = OB $→^\rightarrow$ +OC $→^\rightarrow$ = 2 OA' $→^\rightarrow$ (parce que MA $→^\rightarrow$ + MB $→^\rightarrow$ = 2 MI $→^\rightarrow$ avec I milieur de [AB]

Donc (AK) // (OA')

or (OA') médiatrice de [BC] puisque O centre cercle circonscrit

donc puisque (OA') perp/ (BC) on a aussi (AK) perp/ (BC) donc (AK) est une hauteur. On démontrerait de la même manière que (BK) et (CK) hauteurs aussi. Donc K est le point d'intersection des hauteurs.

3°) Calcul un peu long mais je n'ai pas trouvé plus élégant

On appelle Q barycentre cherché et on va démontrer que QK $→^\rightarrow$ = 0 $→^\rightarrow$

2QO $→^\rightarrow$ -QA $→^\rightarrow$ -QB $→^\rightarrow$ -QC $→^\rightarrow$ = 0 $→^\rightarrow$

2QK $→^\rightarrow$ + 2KO $→^\rightarrow$ = QA $→^\rightarrow$ +QB $→^\rightarrow$ +QC $→^\rightarrow$ (chales en "passant par O à droite de

2QK $→^\rightarrow$ + 2KO $→^\rightarrow$ = 3QO $→^\rightarrow$ + OA $→^\rightarrow$ +OB $→^\rightarrow$ +OC $→^\rightarrow$ = 3QO $→^\rightarrow$ + OK $→^\rightarrow$

2QK $→^\rightarrow$ = 3QO $→^\rightarrow$ + OK $→^\rightarrow$ - 2KO $→^\rightarrow$ = 3QO $→^\rightarrow$ + 3OK $→^\rightarrow$ = 3QK $→^\rightarrow$

2QK $→^\rightarrow$ = 3QK $→^\rightarrow$ equiv/ QK $→^\rightarrow$ = 0 $→^\rightarrow$ donc K et Q sont confondus.