Démontrer qu'une fonction avec ln admet deux asymptotes oblique et horizontale

Bonjour, pouvez-vous m'aider à faire cet exercice s'il vous plait? Voici l'enoncé :
La fonction f est définie sur R : f(x)= Ln $3+e^x$ )
Il semble que C, la courbe représentative de la fonction, admet deux asymptotes, l'une oblique, l'autre horizontale.

vérifiez que pour tout Réel x, f(x)= x +ln $1+3e^{-x}$ )
en utilisant l'une ou l'autre des écritures de f(x), justifiez la conjecture énoncée.

Merci d'avance, Bonne fête de fin d'année.

Bonjour ( et bonne année 2012 ! )

Piste pour démarrer,

Vu que l'on ne te demande qu'une vérification , tu peux partir de la seconde écriture ( et trouver la première )

$f(x)=x+ln(1+3e^{-x})$

Vu que lne=1

$f(x)=xlne+ln(1+3e^{-x})$

$f(x)=lne^x+ln(1+3e^{-x})$

Vu que lna+lnb=ln(ab)

$f(x)=ln(e^x(1+3e^{-x}))$

Il te reste à distribuer les quantités entre parenthèses pour trouver la première écriture.

Merci pour votre réponse et bonne année 2012 à vous aussi !
Pour la 2ème question je ne vois pas comment faire car nous n'avons aucune équation de droite dans l'enoncé.. J'ai une autre question, pouvez-vous m'expliquer la différence entre une tangente et une asymptote s'il vous plait ?
Merci

Bonjour,

Une tangente (T) au point d'abscisse $x_0$ touche la courbe au point de la courbe d'abscisse $x_0$

Une asymptote (D) en +∞ s'approche indéfiniment de la courbe ( sans la toucher ) au voisinage de +∞

Une asymptote (D) en -∞ s'approche indéfiniment de la courbe ( sans la toucher ) au voisinage de -∞

Remarque : (T) aussi bien que (D) peuvent éventuellement couper la courbe ( à d'autres endroits )

Pour les asymptotes relatives à ton exercice:

En +∞ , f(x) tend vers +∞.
utilise la seconde écriture pour déterminer l'asymptote
$ln(1+3e^{-x}$ ) tend vers 0 donc y=x est l'équation de l'asymptote oblique.

En -∞ , utilise la première écriture.
f(x) tend vers ln3 donc y=ln3 est l'équation de l'asymptote horizontale à la courbe.

Merci beaucoup. Il y a un point que je n'ai pas compris : pourquoi lors du calcul de la limite avec la seconde écriture, on utilise pas le x qui se trouve juste avant $ln(1+3e^{-x}$ ) ?

Pour trouver la limite ( qui vaut +∞ ) on utilise TOUT ( y compris le x qui est avant ln )

Ensuite , si c'est l'asymptote oblique que tu cherches , ton cours doit te dire que :

lorsque $f(x)=ax+b+ϕ(x)f(x)=ax+b+\phi(x)$ avec $lim⁡x→+∞ϕ(x)=0\lim_{x\to +\infty}\phi(x)=0$ , alors la droite d'équation y=ax+b est asymptote oblique à la courbe.

Dans ton cas :

ax+b vaut x et $ϕ(x)=ln(1+3e−x)\phi(x)=ln(1+3e^{-x})$

C'est pour cela que l'on cherche la limite de $ln(1+3e^{-x}$ ) ( qui vaut 0) et que l'asymptote oblique a pour équation y=x

D'accord, je vous remercie. Bonne journée

Bons logarithmes et bon dimanche !