exercice sur un cube


  • G

    Bonsoir, alors voila mon petit problème :
    Construire un cube ABCDEFGH, O1O_{ 1}O1 et O2O_2O2 les centres respectifs des faces ADHE et BCGF. Soit N un point du segment [HF] et P un point du segment [AC] définis par HN→HN^\rightarrowHN = kHF→kHF^\rightarrowkHF et AP→AP^\rightarrowAP = kAC→kAC^\rightarrowkAC où k=[0;].

    1. Exprimez N et P comme barycentres respectifs de H et F d'une part, de A et C d'autre part.
    2. I étant le milieu du segment[NP], montrer que HN→HN^\rightarrowHN + AP→AP^\rightarrowAP = $2O_{ $1}I→I^\rightarrowI puis que HF→HF^\rightarrowHF + AC→AC^\rightarrowAC = $2O_{ $1}OOO2→^\rightarrow.
      EN déduire que $O
      { $1}I→I^\rightarrowI = kO1kO_{ 1}kO1 OOO_2→^\rightarrow ,k app/ [0;1]. Quel est l'ensemble des points I lorsque k d'écrit l'intervalle [0;1]? (Le construire en rouge) Voila bon courage moi je seche je n'ai fais que le cube :s

  • Zorro

    Bonjour

    1. Si HN→^\rightarrow = k HF→^\rightarrow alors 1HN→^\rightarrow - kHF→^\rightarrow = 0→^\rightarrow

    donc H est barycentre de (N,1) et (F,k)

    AP→^\rightarrow = kAC→^\rightarrow alors PA→^\rightarrow = -kAC→^\rightarrow = -k (AP→^\rightarrow + PC→^\rightarrow)

    donc PA→^\rightarrow + kAP→^\rightarrow + kPC→^\rightarrow = 0→^\rightarrow
    donc PA→^\rightarrow - kPA→^\rightarrow + kPC→^\rightarrow = 0→^\rightarrow
    donc (1-k)PA→^\rightarrow + kPC→^\rightarrow = 0→^\rightarrow

    donc P barycentre de (A, 1-k) et (C, k)

    Pour la suite je réfléchis


  • Zorro

    pour le 2)il faut utiliser IN→IN^\rightarrowIN + IP→IP^\rightarrowIP = 0→0^\rightarrow0

    et Chasles dans l'expression HN→HN^\rightarrowHN + AP→AP^\rightarrowAP en passant par I

    HN→HN^\rightarrowHN + AP→AP^\rightarrowAP = HI→HI^\rightarrowHI + IN→IN^\rightarrowIN + AI→AI^\rightarrowAI + IP→IP^\rightarrowIP = HI→HI^\rightarrowHI + AI→AI^\rightarrowAI = −(IH→-(IH^\rightarrow(IH + IA→IA^\rightarrowIA)

    or on sait que pour tout M du plan MA→MA^\rightarrowMA + MB→MB^\rightarrowMB = 2MQ→2MQ^\rightarrow2MQ avec Q milieu de [AB]

    donc IH→IH^\rightarrowIH + IA→IA^\rightarrowIA = 2 IO1IO_1IO1 →^\rightarrow avec O1O_1O1 milieu de [AH] car centre du carré ADHE.

    Pour la suite je n'ai pas encore cherché


  • G

    ba un grand merci pour ça ^^


  • Zorro

    HN→HN^\rightarrowHN + AP→AP^\rightarrowAP = 2O2O2O_1I→I^\rightarrowI
    HF→HF^\rightarrowHF + AC→AC^\rightarrowAC = 2O2O2O_1OOO_2→^\rightarrow
    HN→HN^\rightarrowHN = kHF→kHF^\rightarrowkHF
    AP→AP^\rightarrowAP = kAC→kAC^\rightarrowkAC

    2O2O2O_1I→I^\rightarrowI =HN→=HN^\rightarrow=HN + AP→AP^\rightarrowAP = kHF→kHF^\rightarrowkHF + kAC→kAC^\rightarrowkAC = k(HF→k(HF^\rightarrowk(HF + AC→AC^\rightarrowAC) = k (2O(2O(2O_1OOO_2→^\rightarrow) = 2kO2kO2kO_1OOO_2→^\rightarrow

    donc OOO_1I→I^\rightarrowI = kOkOkO_1OOO_2→^\rightarrow


  • Zorro

    donc

    si k=0 alors I est confondu avec O1O_1O1

    si k=1 alors I est confondu avec O2O_2O2

    pour un autre k entre O et 1, I est un point du segment [O[O[O_1O2O_2O2]

    Bonne rédaction


  • G

    merci pour tes réponse. tu m'as bien dépanné.


  • Zorro

    De rien,

    si on intervient c'est pour essayer de faire progresser les forumeurs qui ne savent pas résoudre leurs exos.

    A + pour une autre aide de la part de toutes les personnes qui répondent sur ce site.


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