orthocentre et droite d'Euler ( vecteurs et droites du plan)

Bonsoir,

c'est un exercice de géometrie :

ABC est un triangle. A', B', C' sont les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB].
O est le centre de son cercle corconscrit.

On note H le point défini par OH = OA+OB+OC. (tous des vecteurs)
a. Faire une figure à la main ou avec un logiciel de géométrie.
b. Montrer que AH=2OA' ( tous des vecteurs)
c. Démontrer que (AH) est perpendiculaire à (BC).
d. Quelles autres relations peut on écrire de meme?
e. quelle propriété des trois hauteurs d'un triangle vient-on de démontrer ?
On note G le centre de gravité du triangle ABC c'est à dire le point d'intersection des médianes.
On rappelle que GA+GB+GC=0 ( tous des vecteurs)
Montrer que OH=3OG (tous des vecteurs)
Qu'en déduit on pour les points O, H et G ?

voilà l'exercice, alors moi j'ai fait la figure , mais je n'ai pas réussi à faire le point H , pouvez vous m'expliquer comment je peux faire svp, et une aide pour le reste de l'exercice me serait tres utile .

Merci beaucoup d'avance!!

Hello Riri

Bah tu prends un triangle
dans un repere avec par exemple
A(0,0) B(0,5) et C(2,7)
et tu calcules vecteur(OH) = vecteur(OA)+vecteur(OB)+vecteur(OC)
avec les coordonnées ...

Sinon vecteur(OA) + vecteur(OB) tu sais probablement tracer
donc "la résultante de cette somme" +vecteur(OC) tu permettras d'obtenir vecteur(OH)

Ok ?

oui!
merci j'ai réussi à faire le point H .

je vais continuer l'exercice et si j'ai une autre question, je la poserai

merci encore

Pour la b.
j'ai fait le calcul, d'abord j'ai calculé les vecteurs AH et OA ensuite j'ai multiplié par 2 le vecteur OA .
Mais le j'ai trouvé que 2OA n'est pas égale à AH

AH ( -7;6.5) et 2OA ( -9;-5)

alors que dans la question ils nous disent de montrer qu'ils sont égaux

j'ai du faire une faute quelque part, mais je ne sais pas où :rolling_eyes:

merci d'avance :frowning2:

Attention pour la 1ere question
les coordonnées c'était juste pour positionner H

En aucun cas il ne faut maintenant utiliser ces coordonnées
particulière pour prouver une relation comme dans le b) car on
est dans un cas particulier donc (on ne peut généraliser)

Dans le b) on peut par exemple écrire
vecteur(OA') = [vecteur(OB) + vecteur(OC)]/2
car A' milieu de BC ... (exp.1)

et aussi partir de
vecteur(OH) = vecteur(OA)+vecteur(OB)+vecteur(OC)
<=>
vecteur(OA) +vecteur(AH) relation de chasles
= vecteur(OA)+vecteur(OB)+vecteur(OC) (exp.2)

et en considérant (exp.1) et (exp.2) monter
que finalement vecteur(AH)=2vecteur(OA')

...

ah ok, merci je vais refaire ça !

donc , je remplace vOB+vOC

ce qui va me faire vAH=vOA+vOA'

mais euh je bloque icic --'

vecteur(OA) +vecteur(AH) = vecteur(OA)+vecteur(OB)+vecteur(OC)

donc vecteur(AH)
= vecteur(OA)+vecteur(OB)+vecteur(OC)

vecteur(OA)
= vecteur(OB)+vecteur(OC)

or vecteur(OA') = ?

donc vecteur(OB)+vecteur(OC) = ?

vOA' = vOB+vOC

et le vOA est éliminé vOA-vAO

je trouve donc vAH= vOA'

mais le x2 ??

vOA' =(1/2) [ vOB+vOC ]

car A' milieu de BC (en manipant vBA' = vA'C
on obtiendrait le relation ci-dessus avec 1/2 ...

ah ok, merci ! j'avais oublié le 1/2 --'

pour la c)

je pensais à dire que (AH) est parallele à (OA') parce que (OA') est la médiatrice de (BC) elle est donc perpendiculaire à (BC), et donc par la propriété des droites paralleles, (AH) serait aussi perpendiculaire à (BC)

c'est juste ??

et euh je dois prouver le parallélisme avant ça , mais comment je peux le faire, si j'ai pas de données ? ; j'utilise les vecteurs, je peux donc utiliser les données du a) ??

L'énoncé est il juste ? [EDIT] mais oui il est juste

c. Démontrer que (AH) est perpendiculaire à (BC).
car sur mon dessin (AH) n'est pas perpendiculaire à (BC) ?

oui , il est juste, il faut prolonger la droite (BC) et elle coupera la droite (AH) en angle droit , c'est ce que je vois à l'oeil nu en fait

par contre, en calculant la colinéarité des vecteurs OA' et AH , j'ai trouvé que le résultat etait egale à 1.75 et non à 0, du coup ils ne sont pas colinéaires et donc pas paralléles , je sais pas si j'ai fait une faute ?

vOA' ( -3.5;3.5) et vAH ( -7,6.5)

Attention
alors les coordonnées c'était juste pour positionner les points on est bien d'accord ... maintenant je crois qu'il
faudrait les oublier !
=>
O c'est le centre du cercle circonscrit pas l'origine du repère ...
donc O n'a pas comme coordonnées(0,0) ce qui expliquerait
tes erreurs de calculs ...
et O est l'intersection des médiatrices ...

je pensais à dire que (AH) est parallele à (OA') parce que (OA') est la médiatrice de (BC) elle est donc perpendiculaire à (BC), et donc par la propriété des droites paralleles, (AH) serait aussi perpendiculaire à (BC)

ça c'est juste

d'ccord donc les coordonnées des points ne sont plus valables ( pour moi O (4.5;2.5) )

donc oui, O est le point d'intersection des médiatrices, mais je ne comprends pas en quoi ça peut nous aider

je peux avoir plusieurs idées comme, prouver que (AH) est une tangente du cercle et qu'elle est parallele à (OA') et ensuite toujours avec la propriété des paralleles elle serait perpendiculaire....

c'est juste ??

Sans doute des erreurs dans tes calculs (non demandés)
mais les coordonnées de O(4.5;2.5) sont bonnes !
vérifions sur notre exemple ...
=>
A(0;0) B(0;5) et C(2;7)
O(4.5;2.5) OK
A'(1,6) OK
vOA' ( -3.5;3.5)

vOA(-4.5;-2.5)
vOB(-4.5;2.5)
vOC(-2.5;4.5)
donc OH(-11.5;4,5)
et vAH = -vOA + OH (4,5-11,5;2,5+4,5) donc (-7;7)
et vAH = 2vOA'

Bon reprenons a) b) et c) c'est Ok

Pour le d)sans doute dans le même style ...

BH=2OB' ( tous des vecteurs)
et (BH) est perpendiculaire à (AC) ...

Sinon jusque là tout est Ok ?

a) et b) ok , mais pas pour le c) , j'ai pas encore prouver que c'etait perpendiculaire

ah non c'est bon, avec l'erreur corrigé des coordonnées de vAH
j'arrive à trouver 0 , donc ils sont colinéaires et donc je peux continuer donc le c est ok !

pour le d) ok aussi

c) c'est Ok
Ta réponse était bonne !
=>

je pensais à dire que (AH) est parallele à (OA') parce que (OA') est la médiatrice de (BC) elle est donc perpendiculaire à (BC), et donc par la propriété des droites paralleles, (AH) serait aussi perpendiculaire à (BC)

Pour le e) une idée de la propriété démontrée ?

eh bien , j'ai pensé à ce que ça peut etre, peut etre la propriété qui dit que quand le triangle a un angle obtus l'orthocentre est à l'extérieur du triangle ??

mais je ne suis pas sure, chez moi les hauteurs ne sont pas concourrantes ??

mais en fait en y pensant , je pense pas que ça soit juste , je parle pas des hauteurs dans l'exercice , je comprends pas vraiment le rapport en fait --'

Les hauteurs sont concourantes !

(AH) par exemple, c'est la droite "contenant" la hauteur issue de A
puisque (AH) perpendiculaire à (BC)
BH et CH raisonnement identique donc les 3 hauteurs se coupent en un même point ...

j'ai pas compris --'

Pour tracer la hauteur issue de A tu tracerais la
une droite passant par A et perpendiculaire à BC, Ok ?
Dans notre question c), on a montré que (AH) perpendiculaire
à(BC)
de même dans d) on conclut que (BH) perpendiculaire à (AC)
de même dans d) on conclut que (CH) perpendiculaire à (AB)

donc ces 3 droites concourantes en H sont en fait des hauteurs
donc on a trouvé que les trois hauteurs se coupent en 1 seul point ...

ok et donc l'othocentre c'est le point H

par contre (CH) n'est pas perpendiculaire à (AB) car H ( -7;6.5) et C ( 2;7) ??

Oublie les coordonnées et les erreurs de calcul ...

tout doit se faire dans cet exercice avec les relations
données et les vecteurs ... pour l'instant si tu reparcours
ce topic on a tout démontré sans coordonnées !

Pour AH on a démontré la relation AH perpendiculaire à BC
en utilisant le milieu de BC et Chasles
De la même manière on aurait pu le démontrer ça pour BH ou CH
d'ailleurs dans d) on admet ces relations pour BH et CH ...

ok, donc, la propriété démontrée c'est l'intersection des hauteurs en un point H, exterieur au triangle et qui est l'orthocentre du triangle c'est ça ?

c'est l'intersection des hauteurs ou Orthocentre tout simplement
que H soit en dehors de notre triangle ça c'est pas une
généralité, il peut être à l'intérieur ...

ok, je fais la suite et si j'ai une question je la poserai, merci beaucoup pour ton aide !

Bon la suite devrait aller ...
Je vais être un peu moins disponible
d'ici 19H mais je te fais confiance ...

ok merci^^

alors, voilà ce que j'ai trouvé pour la premiere question du 2.

G ∈ à (OH) et B' ∈ (OH)
B' milieu de (AC)

on remplace

vOA+vAH= vOA+vOCx2

vAH= vOCx2

mais c'est faux parce que nous on veut vOH=3vOG

donc on a GA+GB+GC=0

ça devrait nous aider , mais euuh je ne sais pas comment --'

par contre pour la deuxieme question, on en déduit que les points O, H et G sont alignés .

c'est juste ?

Bonsoir,

Je n'ai pas suivi la discussion , alors attends que messinmaisoui soit de retour.

En attendant , il y a un ancien sujet sur la droite d'Euler que tu peux consulter si besoin :

http://www.mathforu.com/sujet-9192.html

Bonsoir,

ok, merci ^^

Bonsoir et Merci Mtschoon

G ∈ à (OH) ... on ne l'a pas encore prouvé

et
B' ∈ (OH)?

vOA+vAH= vOA+
vOCx2?

Si tu reprends, Riri, l'énoncé et les formules

...par vOH = vOA+vOB+vOC ...
... Montrer que vAH=2vOA' ...

...On rappelle que vGA+vGB+vGC=0 ..
... Montrer que vOH=3vOG ...*

En partant de
vOH = vOA+vOB+vOC et en introduisant judicieusement le point
G ( relation de chasles ) tu devrais retomber
assez rapidement sur 3vOG

une fois cette relation démontrée
alors oui =>"on en déduit que les points O, H et G sont alignés !"

messinmaisoui

G ∈ à (OH) ... on ne l'a pas encore prouvé

et
B' ∈ (OH)?

vOA+vAH= vOA+
vOCx2?

ça je sais pas , je l'ai vu à l'oeil nu seulement

....

En partant de
vOH = vOA+vOB+vOC et en introduisant judicieusement le point
G ( relation de chasles ) tu devrais retomber
assez rapidement sur 3vOG

vOH = vOA+vOB+vOC
vOH =( vOA+vOC)+vOB
vOH =vOG+vOB
?????

.....

une fois cette relation démontrée
alors oui =>"on en déduit que les points O, H et G sont alignés !"

ok

vOH
= vOA+vOB+vOC
= (vOG +vGA)+(vOG + ...

vOH
= vOA+vOB+vOC
= (vOG +vGA)+(vOG + vGB)+ (vOG+vGC) là on a 3 fois vOG

mais comment se débarraser de vGA ...???

vGA+vGB+vGC=0 d'après l'énoncé

ah oui c'est vrai^^"""

donc on a

vOH
= vOA+vOB+vOC
= (vOG +vGA)+(vOG + vGB)+ (vOG+vGC)
= 3vOG+ (vGA+ vGB+vGC)
=3vOG

voilàà !!

et apres on en déduit que les points O, H et G sont aligés

Parfait !

Encore merci beaucoup pour ton aide très préciseuse !!!