Calcul de la somme des n premiers entiers


  • C

    Bonsoir,
    J'ai un devoir de maths dans lequel je n'arrive pas du tout à avancer.

    On cherche donc à déterminer la somme des n premiers entiers.
    1/ Déterminer un polynome P, de degré 2, vérifiant pour tout x: P(x+1)-P(x)=x

    J'ai donc commencé comme ceci:
    P(x+1)-P(x)=x
    a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c=x
    a(x²+1+2x)+bx+b-ax²-bx-c=x
    a(x²+1+2x-x²)+b=x
    a+2ax+b-x=0
    x(-1+2a)+a+b=0

    Mais je n'arrive pas du tout à continuer..Suis-je bien partie?

    Merci de votre aide et bonne soirée.


  • A

    Hello Cow-ard

    Oui !

    Donc quelque soit x résoudre x(-1+2a)+a+b=0

    revient à écrire
    -1+2a = 0
    et
    a+b = 0
    <=>
    a = 1/2
    et
    b=-1/2


  • C

    D'accord. Merci beaucoup. P(x)=12x2−12x\frac{1}{2}x^{2-}\frac{1}{2}x21x221x.
    La question suivante est prouver l’égalité 1+2+...+n=P(n+1)-P(1) (où n est un entier naturel non nul).
    Indication, à l'aide de ce qui précède on remarquera que 1=P(2)-P(1); 2=P(3)-P(2) etc...
    J'ai Donc calculé P(1)=0; P(2)=1; P(3)=3
    Ensuite, P(1) étant égal à 0, P(n+1)-P(1)= P(n+1) non?
    Je ne comprends pas comment arriver à l'egalité:1+2+...+n=P(n+1)-P(1).

    Pouvez-vous m'aider? Merci.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Par définition , tu sais que x=P(x+1)-P(x) , pour tout x réel

    Tu appliques cette définition pour x=1, x=2,x=3,..., x=n et tu ajoutes

    Pour mieux voir les simplifications , je te suggère de disposer les lignes les unes au dessous ses autres :

    1=P(2)-P(1)
    2=P(3)-P(2)
    3=P(4)-P(3)
    ....
    ...
    n-1=P(n)-P(n-1)
    n=P(n+1)-P(n)

    Tu ajoutes membre à membre et tu simplifies.


  • C

    Merci beaucoup.


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