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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Scinder: Démonstration par récurrence

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 13.11.2005, 14:12



enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 8

Status: hors ligne
dernière visite: 13.11.05
Ok, merci beaucoup Zauctore.

Vous pouvez m'aider sut cet exo svp:

n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
f(n) est l'entier naturel défini par f(n) = n4 + n 3 + n² + n + 1.
1.a Vérifier que (n-1)f(n) = n5 - 1.
b) En déduire que n5 - 1 est divisible par f(n).

2.a En déduire que n10 - 1, n15 - 1, n20 - 1 sont divisibles par n5 -1.
Démontrer que ces mêmes entiers sont divisibles par f(n).

3. Quel est le reste dans la division de f(n5 ) par f(n).

1-a-b --> OK

2.a Je pense être assez sûr de cette réponses mais bon :
On a démontré que pour tout réel x,
xn - 1 = (x - 1)(xn-1 + xn-2 + ... + x + 1).
Or pour x = n, on a :
n10 - 1 = (n-1)(n9 +n8 +n7 +n6 +n5 +n4 +n3 +n² + n + 1)
= (n-1)f(n)(n5 +1)
= (n5 -1)(n5 +1)

Donc n5 -1 divise n10 -1. (car (n5 +1) € N avec n >= 2.

Est ce bon?

Merci pour vos réponses ! icon_biggrin



modifié par : Zauctore, 13 Nov 2005 @ 14:19
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Envoyé: 13.11.2005, 15:06



enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 8

Status: hors ligne
dernière visite: 13.11.05
(En dirait que j'ai crée qqch sur le forum : scinder, icon_confused)

Sinon, j'ai aussi à faire complètement le 2a) icon_smile

Il me reste que le 3, mais j'suis bloqué ! icon_mad

Est ce que je peux dire que le reste dans la division de n20 , de n15 , de n10 , n5 , par f(n) est égale à 1, donc le reste de f(n5 ) par f(n) est 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. ??

f(n5 ) = n20 +n15 +n10 +n5 + 1
Top 
Envoyé: 13.11.2005, 15:48

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
je dirais la même chose.
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