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Fin 

Démonstration par récurrence
Envoyé: 13.11.2005, 12:52



enregistré depuis: Sep. 2005
Messages: 8

Status: hors ligne
dernière visite: 13.11.05 		Bonjour,

J'ai plusieurs exos à faire (que je pense plus ou moins avoir réussi) mais je bloque sur une petite démonstration par récurrence :
La voici :

n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Démontrer que pour tout réel x :
xn - 1 = (x-1)(xn-1 + xn-2 + ... + x + 1)

Alors voici le début de ma réponse :

Démontrons que pour tout réel x, xn - 1 = (x-1)(xn-1 + xn-2 + ... + x + 1)

Montrons que pour n = 2 la propriété est vraie :
On a :
(x - 1) (x + 1)
<-> x² + x - x - 1
<-> x² - 1 = xn - 1 (avec n = 2).

Pour n = 2, la propriété est donc vraie.

Soit n >= 2, tel que la propriété soit vraie, montrons que pour n+1, elle l'est aussi.

On a donc pour n+1 :
(x(n+1)-1 + x(n+1)-2 + ... + x + 1)(x-1) = xn+1 -1

Ensuite j'comprends plus icon_confused

Vous pourvez m'aider svp ! icon_frown

Merci beaucoup pour vos réponses !
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Envoyé: 13.11.2005, 12:56

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: Aug. 2005
Messages: 4536

Status: hors ligne
dernière visite: 30.11.08 		Je dirais plutôt ça comme ça :

(xn + xn-1 + ... + x + 1)(x - 1)
= xn (x - 1) + (xn-1 + ... + x + 1)(x - 1)
= xn+1 - xn + xn - 1
d'après l'HR.

L'hérédité en découle.
Top 
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