P entiers naturels positifs consecutifs

bonjour tout le monde,
j'ai un petit exercice noté pour le 30/09/11. Je pense avoir fait quelque chose de pas mal mais j'ai beaucoup de doute malgres tout. Merci de me dire si c'est une bnne reponse ou si je suis a coté de la plaque.

p est un entier naturel positif.
Démontrer que , parmi p entiers naturel positifs consecutifs, il en existe au moins un qui est un multiple de p.

Ma reponse:

p est un entier naturel positif:
-on pose:
a= (p+1) sachant que p+1 est un entier naturel positif et consecutif de p.
-dire que a est multiple de p signifie que:
a=kp
or a=p+1
donc p+1=kp
<=> p=kp-1
<=> k=1+(p/1)

si k=2 alors:
2=1+(1/P)
<=>p=1
-reciproquement si p=1:
1=k*1-1
k=2

Il existe donc au moins un entier naturel positif et consecutif qui est un multiple de p.

Bonjour,

C'est faux à partir de p = kp -1
qui donne kp = p+1
soit k = ...

De plus pourquoi ce serait p+1 qui serait un multiple de p ?

Comment peut-on écrire p entiers naturels consécutifs ?

rebonjour,
pour le c'est faux a patir de p= kp -1 je comprend pas car j'ai p+1 = kp si je fais passer le + 1 a droite sa fait -1 non ?

on peut ecrire x, x+1, x+2 ....., non ?

p+1 = kp donne bien p = kp - 1
mais c'est k que tu veux exprimer donc kp = p+1
implique si p différent de 0, k = (p+1)/p

Oui pour
x , x+1, x+2, ....... et le dernier x + ...... ?

ben (p+1)/p = 1+(1/p) =k je l'ai marque sa non ?

le dernier serai x+p non ?

Tu as écrit k = 1 + p/1 !!

le dernier nombre n'est pas x+p, mais x + p - 1
Il reste à montrer que l'un de ses nombres est divisible par p.

Oui désole j'ai due me trompe en tapant car dans ma tete c'était ce calcul. Pardon donc je dois simplement prouver que soit x+1 etc jusqu'à x+p-1 sois divisible par p. Merci

Il faut prouver que l'un des termes est un multiple de p .

n le plus petit des entiers naturels consécutifs, ces entiers commencent donc par n et finissent par n + (p-1)

On réalise la divise euclidienne de "n" par "p" on obtient :
n=pq+r, comme c'est une division euclidienne alors 0 ≤ r ≤ p (inférieur ou égale.
Si r=0 alors p divise n.
Soit x=n+ (p-r) ; on remplace par la valeur de n précédente on a donc :
x= pq+r + (p-r) <=> x= pq + p <=> x= p(q+1)
Or q+1 est un entier, donc p divise bien x.
Avec 1 ≤ r ≤ p on a donc 0 ≤ p-r ≤ p-1
Alors finalement x appartient aux p nombres entiers consécutifs.
On peut conclure que x est multiple de p.