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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Variations d'une fonction

  - catégorie non trouvée dans : 1ère
Envoyé: 10.11.2005, 20:32



enregistré depuis: nov.. 2005
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dernière visite: 11.11.05
Bonjour tout le monde!

Je suis en premiere S et suite à une erreur de raisonnement j'ai eu un problème faux sur mon ds. Malgré l'erreur (j'ai appliqué le theoreme des variations des equation du second degré (signe de a à l'exterieur des racines...) sur la fonction bi-carrée suivante
x4 + 3 x2 - 4.
Comme le résultat était bon, j'ai essayé plusieurs equations et j'en suis arrivé à cette conclusion :

Si le discriminant est positif :

1°-Pour toute fonction bi-carrée du type
a x4 + b x2 + c avec a diff/ 0,
si la fonction admet 2 solutions dans R, alors la courbe representant la fonction est du signe de a à l'exterieur des racines et du signe contraire de a à l'interieur des racines.

2°-Pour toute fonction bi-carrée du type
a x4 + b x2 + c avec a diff/ 0,
si la fonction admet 4 solutions dans R, alors de part et d'autre de l'axe de symmétrie de la courbe, la courbe est du signe de a à l'exterieur des racines et du signe contraire de a à l'interieur des racines.

Est-ce vrai? Y'a t-il un moyen de le prouver?



modifié par : Zauctore, 11 Nov 2005 @ 10:51
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Envoyé: 11.11.2005, 09:24

Cosmos
j-gadget

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dernière visite: 21.02.13
Remplace x^2 par X (grand x, c'est fait exprès). Puis résouds ça comme une équation du second degré. Voilà !
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Envoyé: 11.11.2005, 09:40

Cosmos
Zorro

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Messages: 9374

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dernière visite: 10.01.16
Il ne faut pas oublier que X = x^2 ce qui apporte une contrainte sur X, qui doit être positif ou nul.

Donc l'équation en X devrait avoir des racines positives et dans ce cas l'équation en x a 4 racines. Sinon elle en a moins
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Envoyé: 11.11.2005, 11:19



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Messages: 2

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dernière visite: 11.11.05
Oui je sais qu'il faut la résoudre avec X=x² mais la question était à propos des variations de cette fonction (et comment je peux prouver qu'on peut appliquer le théoreme des variations d'une fonction d'une fonction du second degré (Signe de a a l'exterieur des racines, inverse à l'interieur) si elle à deux racines dans R, et l'appliquer de part et d'autre de l'axe de symmetrie de la courbe si elle a 4 racines).
Merci
Maza
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Envoyé: 11.11.2005, 11:48

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Dans le premier cas de figure, c'est-à-dire lorsque

f(x) = a x4 + b x2 + c

possède seulement deux racines u et v, alors on a

f(x) = a (x - u) (x - v) (x2 + p x + q)

où le polynome de degré 2 n'a pas de racine (il est donc toujours positif).

Dans ce cas, on voit que le signe de f(x) est le même que celui de
g(x) = a (x - u) (x - v).

Ta première affirmation est donc fondée.
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Envoyé: 11.11.2005, 14:17

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
J'oubliais que si le polynôme f ne change pas de signe, avec deux racines u et v il est alors de la forme
f(x) = a (x - u)² (x - v)².
Et alors ta première affirmation ne tient plus.
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