Calcul de la somme des termes d'une suite géométrique


  • X

    Bonjour, je bloque sur la derniere question de cet exercice, est ce que quelun pourait m' aider svp.

    1)a) Soit (rn(r_n(rn) la suite geometrique reelle de premier terme r0r_0r0 strictement positif et de raison 2/3.
    Exprimer rnr_nrn en fonction de r0r_0r0 et n.

    rnr_nrn = r0r_0r0 foi/(2/3)nfoi/(2/3)^nfoi/(2/3)n

    b) Soit (On) ,la suite arithmetique reelle de premier terme O0O_0O0 appartenant a l' intervalle [0;pipipi/2] et de raison 2pipipi/3.
    Exprimer OnO_nOn en fonction de O0O_0O0 et de n.

    OnO_nOn = O0O_0O0 + 2pipipi/3 foi/n

    c)Pour tout entier naturel n, on pose : znz_nzn = rnr_nrn(cos OnO_nOn+ isinOnisinO_nisinOn).

    Sachant que z0z_0z0 , z1z_1z1 et z2z_2z2 sont lies par la relation z0z_0z0 z1z_1z1 z2z_2z2 = 8, determiner le module et un argument de z0z_0z0 , z1z_1z1 et z2z_2z2 .
    z0=r0e^iO0
    z1=r1
    e^iO1=rO2/3e^O0+2pi/3
    z2=r2e^iO2=rO*(2/3)^2e^O0+4pi/3
    donc z0z1z2=(2/3
    r0)^3e^i(3O0+6pi/3)
    z0z1z2=(2/3
    r0)^3e^iO0
    donc :
    (2/3
    r0)^3=8
    ro=3
    arg(Z0) = 0

    r1=r0*(2/3)=3*2/3=2
    arg(Z1) = 2Pi/3
    et

    r2=r0*(2/3)^2=3*4/9=4/3
    arg(Z2) = 4Pi/3

    2)Dans le plan complexe P muni d' un repere orthonorme direct (O,u,v), (unite graphique 4cm) , on appelle Mn le point d' affixe znz_nzn.
    a)Placer les points M0,M1,M2et M3 dans le plan P.

    c'est bon j' ai reussi a les placer.

    b)Pour tout entier naturel n, calculer ||MnM_nMn MMM_{n+1}→^\rightarrow || en fonction de n.

    donc la norme du vecteur (Mn Mn+1))= module de ( affixe de Mn -affixe deMn+1)
    norme du vecteur (Mn Mn+1)= norme de (Zn+1-Zn)
    Zn= r0*(2/3)^n e^i(O0+n2pi/3)
    Zn+1= r0*(2/3)^n+1 *e^i(O0+(n+1)*2pi/3)

    Zn+1-Zn= r0*(2/3) ^n e^i(O0+n2pi/3)
    norme du vecteur (Mn Mn+1)= r0*(2/3)^n*(module de ((2/3)e^(i2pi/3) -1))
    norme du vecteur (Mn Mn+1)=3*(2/3)^n*2racine de 3/2

    c)On pose lnl_nln = som(Msom(Msom(MkM</em>k+1M</em>{k+1}M</em>k+1 de k=0 a n
    Calculer lnl_nln en fonction de n et determiner sa limite quand n tend vers +4
    je vois pas comment simplifier l' expression
    j' espere que vous pourez m' aider
    merci beaucoup


  • Zauctore

    ça m'a pas mal occupé d'essayer de rendre l'énoncé lisible...

    en fait ton problème est semblable au calcul d'une somme des termes d'une suite géométrique
    som(a bkb^kbk de k=0 à n
    qui est égale à
    a (1 - bn+1b^{n+1}bn+1) / (1 - b),
    en sortant les coefficients (facteurs) communs.

    De plus, on a |b| < 1 impl/ lim bnb^nbn = 0, lorsque n -> inf/.


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