resolution d'une equation avec les suites

excusez moi mes amis j'ai encore u pb qui me casse la tete

voici l'enoncé et ce que j'ai fait

on considere l'espace reel à 2 dimension et l'application linéaire défini par la matrice

T= $1amp;0]\begin{bmatrix} k+1/k& -1\ 1& 0 \end{bmatrix}$
k étant un reel donné non nul.

1- deteminer les valeurs propres et les vecteurs propre de T

j'ai trouvé comme valeur propre k et 1/k

et comme vecteur propre (1 ; k) et (1 ;1/k)
ici polynome carateristique me donne
$k$ \lambda $^2$ - $λ\lambda$ $1+k^2$ ) +k

2- former la matrice de passage qui permet de la diagonaliser

je pense que la matrice de passage est formé des vecteurs propres
elle sera donc

P= $kamp;1/k]\begin{bmatrix} 1 & 1 \ k & 1/k \end{bmatrix}$

3-calculer $T^n$ ou n est un entier positif

$T^n$ = $p^{-1}$ $D^n$ P

donc $T^n$ = $\begin{bmatrix} 1 & 1 \ k & 1/k $\end{bmatrix} $^{-1}$ $\begin{bmatrix} k & 0 \ 0 & 1/k $\end{bmatrix} $^n$ $kamp;1/k]\begin{bmatrix} 1 & 1 \ k & 1/k \end{bmatrix}$

4-on considere la relation de recurrence
(1) $kx_{n+1}$ - $(1 + k$ ^2 $x_n$ +k $x_{n-1}$ =0

et l'on pose
$X$ _n $x_n$ ; $y_n$ )
avec $y$ n $x</em>{n-1}$
en outre, on donne le vecteur
$X$ _1 $x_1$ ; $y_1$ )

ou $y$ _1 $x_0$

montrer comment on peut résoudre la relation (1) en tenant compte des résultats précédents.

en fait mon probleme se trouve au niveau de cette dernier question.

je remarque bien qu'il y a une similitude entre
$kx_{n+1}$ - $(1 + k$ ^2 $x_n$ +k $x_{n-1}$

$k$ \lambda $^2$ - $λ\lambda$ $1+k^2$ ) +k

mais je ne parvient pas a repondre a la question.
s'il vous plait debloquer moi
je me rend aussi compte que la relation (1) peut s'ecrire aussi de la sorte
(k ; $1)X_{n+1}$ + $k^2$ ; $k)X_n$
mais jusque la sa ne m'inspire rien et je ne sais comment relié cela avec les resultats précédent
:frowning2:
SVP vos indications