Résoudre une équation différentielle avec fonctions trigonométriques


  • R

    Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cette équa diff : 2y' + 3y = 13 (sinx - cosx)

    C'est surement car j'ai du mal à résoudre les équa diff du type: ay' + by= 0

    Merci d'avance pour vos futures explications.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Si c'est la résolution de 2y'+3y=0 qui te pose problème :

    $\text{2y'+3y=0$ <=> y′=−32yy'=-\frac{3}{2}yy=23y

    Equation de la forme y'=ay , d'où $\text{y=ce^{ax}$ ( voir cours) , C étant une constante réelle.

    Tu obtiens donc , pour l'équation 2y'+3y=0 :

    $\text{y=ce^{-\frac{3}{2}x}$

    Ensuite , je suppose que l'énoncé t'indique la marche à suivre pour résoudre l'équation générale proposée.


  • R

    Voici l'énoncé, je suis perdu..

    1. Rappeler les solutions générale de ay' +by = 0

    2. Donner la solution générale de 2y'+3y = 13 (sinx - cosx)

    3. Donner les solutions de (1) vérifiant y'(0) = 0


  • mtschoon

    Je t'ai expliqué la 1)

    Pour la 2) je veux bien t'aider , mais j'ignore comment cela t'a été présenté en cours ( en Terminale , en principe , la marche à suivre est indiqué dans l'énoncé , ce qui n'est pas le cas ici , car on n'est pas cessé connaître un "théorème tout fait" ....)

    Je te donne des pistes, à tout hazard.

    Tu cherches une solution particulièrede 2y'+3y = 13 (sinx - cosx)

    Vu que le membre de droite est 13sinx -13cosx , tu cherches une solution du type Asinx+Bcosx , A et B étant des réels à déterminer.

    y=Asinx+Bcosx donc y'=Acosx-Bsinx

    Tu remplaces dans l'équation différentielle et tu dois obtenir :

    (3A-2B)sinx+(2A+3B)cosx=13sinx-13cosx

    Par identification ( pour tout x réel):

    $\left{3a-2b=13\2a+3b=-13\right$

    Tu résous et tu dois trouver : A=1 et B=-5

    Donc : une solution particulièrede 2y'+3y = 13 (sinx - cosx) est :

    $\text{\fbox{y=sinx-5cosx}$

    CONCLUSION ( que tu peux donner directement si tu l'as vu en cours , ou que tu dois prouver "à la façon de ton cours" : à toi de voir...)

    La solution générale de 2y'+3y = 13 (sinx - cosx) est la somme de la solution générale de l'équation ( dite "sans second membre ") 2y'+3y = 0 et d'une solution particulière de l'équation 2y'+3y = 13 (sinx - cosx) , donc :

    $\text{\fbox{y=ce^{-\frac{3x}{2}}+sinx-5cosx}$

    Pour la 3) , tu dois chercher la valeur de C satisfaisant à la condition indiquée.


  • R

    Merci bien. je posterai dans supérieur à présent ;).


  • mtschoon

    Tout à fait !

    Pour pouvoir t'aider utilement , il faut que tu postes dans le forum adapté.


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