dérivée d'une fonction trigonométrique

Bonjour,

je suis actuellement en classe de 1S et j'ai un devoir maison à faire, j'ai un exercice sur la dérivée d'une fonction trigonométrique.
Voici mon énoncé

f est la fonction définie sur ℜ par f(x)= cosx-x

Calculer f'(x), étudier le signe de f'x) puis dresser le tableau de variation.

Voici ce que j'ai fait : f'(x)= -sinx-1
on calcule quand est ce que la fonction est nulle
sinx=-2
sinx= sin(-π/2)

ensuite x=-π/2+ k2π
x= π+π/2+k2π

ce qui nous donne x=-π/2

je sais que sin x est toujours compris entre -1 et 1
donc -1< sinx< 1
-1< -sinx<1
-2< -sinx-1 <0
La dérivée serait donc toujours négative et donc la fonction toujours décroissante

Je ne suis pas sûre de mon raisonnement, notamment de la façon de faire pour trouver le signe de la dérivée. Pourriez vous me dire si ce raisonnement est juste et si ce n'est pas le cas m'aider à comprendre ce qu'il faudrait faire.
Merci d'avance

Bonsoir,

A part l'erreur de frappe sinx = -2 à la place de sinx = -1;
l'ensemble est correct.

Merci encore.