Etude de suites, variations

bonjour a tous
j'ai un devoir maison sur les suites a faire mais je ne comprends pas
si l'on pouvait m'aider s'ils vous plait je ne dirais pas non
merci a tous voila l'exercice
[sup][/sup]On pose pour tout naturel n>1 :

Un=1/0 !+1/1 !+1/2 !+..+1/n ! et Vn=Un+1/n*n !

1)vérifiez que l'on a :u1=2 et v1=3

calculez u2,u3,v2,v3. Vous donnerez comme résultats des fractions irréductibles, ainsi que s'il y a lieu des valeurs approchées a 10^-3 près

2)Montrez que la suite (Un) est strictement croissante et que la suite (Vn) est strictement décroissante

3)prouvez que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes

On désigne par L la limite commune de ces suites.
Determinez un encadrement de L d'amplitude 10^-3 entre deux d »cimaux comportant 3 chiffres après la virgule

Soit n un naturel fixé avec n>1. On définit une fonction f sur [0,1] par
F(x)=(1/0 !+x/1 !+x²/2!+...+x^n/n!)e^-x

5)a) calculez f(0)
vérifiez que f(1)=Un*e^-1

b)justifiez que f est dérivable sur [0,1]
montrez que pour tout x de [0,1] :
f'(x)=-x^n/n !*e^-x

en déduire que pour tout naturel n>1
Un<e

6)on définit la fonction g sur [0,1] par
g(x)=f(x)+(x^n+1)(n+1) !

a)justifiez que g est dérivable sur [0,1]
montrez que g est croissante sur [0,1]

b)démontrez que pour tout naturel n>1 :
e[1-1/(n+1) !)<Un

déduisez de ce qui précede la valeur exacte de L
On veut montrer par un raisonnement par l'absurde que e est un nombre irrationel.Dans ce but on suppose que e est rationnel donc que e=p/q ou p et q sont des naturels (non nuls)

8)a)montrez que le nombre N défini par
N=pq !-q(q !u indice petit q) est un entier
b) expliquez pourqoui l'on a Uq<P/Q
en déduire que 0<N<1
c) achevez le raisonnement

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

bonjour

j'ai fait la question 2et 3
mais pour la question 1 je ne sais pas pourquoi je bloque

Pour la question 1
U1 = 1/0! + 1/1!
= 1+1 = 2
...

pour u2 je trouve 2.5 et pour v2 je trouve 4
pour u3 je trouve 17/6 et pour v3 je trouve 106/9

je pense que j'ai faux je ne suis pas sur de la méthode
désolé de vous embéter

Indique tes calculs.
u2 est juste

Attention 3! = 3x2 = 6

désolé mais je ne comprends pas la suite un

A quoi correspond l'écriture "n ! " ?

un nombre plus grand ou égal a 1
et n!=12..n

c'est cela?

Non
n! correspond à n x (n-1) x (n-2) x ..... 3 x 2 x 1

4 ! = 4 x 3 x 2 x 1

d'accord

donc pour u2 on a
u2=1/0!+1/1!+1/2!
=1+1+0,5=2,5

v2=u2+1/nn!
=2,5+1/22
=2,5+1/4
=2,75

u3=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!
=1+1+0,5+1/6
=16/6

v3=16/6+1/3*6
=16/6+1/18
=48/18+1/18
=49/18

u3 = 16/6 = 8/3

Le reste est juste.

Pour la question 5a)
f(0) on trouve( 1/0!+0/1!)e^-0=1?

f(1)=un*e^-1
je ne sais l'expliquer cela parait tellement évident

un=1/0!+1/1!...

f(x)=1/0!+x/1!+x²/2!...)e^-x

donc f(1)=(1/0!+1/1!)e^-1
avec (1/0!+1/1!) qui correspond a un

c'est correct.

Justifie la dérivabilité et calcule la dérivée.

je ne vois pas comment faire la

Utilise les propriétés du cours,

Produit de fonctions dérivables ?
ou la définition de dérivabilité.

il faut que j'utilise cette formule?

Tu peux utiliser cette relation ou les propriétés sur les fonctions dérivables.

je ne vois pas quelle propriété
j'aimerais bine me servir des propriétes car avec le calcul que j'ai donée avant je n'y arrive pa

Le produit de deux fonctions dérivables est une fonction dérivable.

désolé de d'ennuyer :frowning2:
mais avec ces propriétés il faut bien faire des calculs?lesquels

Tu utilises la propriété qu'une fonction polynôme est dérivable et que la fonction e^(-x) est dérivable.

d'accord merci beaucoup

mais pour jstifier que f'(x)=-x^n/n !*e^-x pour tout x de [0,1]
il faut ici faire un calcul?
désolé mais j'ai vraiment du mal avec le calcul de dérivée avec toute les formule qu'il y a

quelqu'un pour m'aider s'ils vous plait ????

Calcule la dérivée forme U x V.

la dérivé de $e^{-x}$ est -x' $e^{-x}$
mais je ne vois pas l'autre dérivée

La dérivée de $e^{-x}$ est $e^{-x}$

a oui mince
mais l'autre dérivé je ne vois pas trop ce que c'est car je ne vois pas ce qu'il faut dérivé exactement
il faut dérivé x^n/n! ?

Tu dérives :
(1/0 !+x/1 !+x²/2!+...+x^n/n!)
soit
0 + 1 + .....

0+1+x+..+nx^(n-1)/

je ne vois pas la dérivé de n!

Et la dérivée de x³ /3! ?

x²

C'est 3x²/(3*2) = x²/2