Etude d'une fonction qui comporte la fonction exponentielle

Bonjour, j'ai un exercice à faire pour la rentrée mais je n'y arrive pas ...
Voici l'énoncé :

A) Etude d’une fonction :
Soit f la fonction numérique définie sur [0 ;5] par :
F(x)= 0,5x + e(-0,5x+1)
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ;i ;j)
Unités graphiques : 4cm sur l’axe des abscisses et 8cm sur l’axe des ordonnées.

1°. a) Résoudre dans [0 ;5] l’équation 1- e(-0,5x+1)=0
b) Résoudre dans [0 ;5] l’inéquation 1- e(-0,5x+1)≥0

2°. Calculer f’(x). A l’aide de la question précédente, étudier le signe de f’(x) et dresser le tableau de variation de f sur [0 ;5]

B) Application économique :

Une entreprise fabrique des objets à l’aide de machines-outils. Le coût total de production est donné par la fonction f précédente où x est exprimé en centaines d’objets ( 2 ≤ x ≤ 5 ) et f(x) est exprimé en milliers d’euros.

1°. Quel nombre d’objets faut-il produire pour que le coût total de production soit minimum ?

2°. Un objet fabriqué est vendu 6 euros pièce.
a) Calculer le bénéfice B(x), en milliers d’euros, obtenu par la vente de x centaines d’objets.
b) Etudier les variations de B dans [2 ;5] et dresser son tableau de variation.

3°. Montrer que le nombre minimal d’objets à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif sur la vente des objets est de 389.

Pouvez vous m'aider svp ...
Mercii d'avance

Bonjour,
alors pour la 1) pense à utiliser la fonction Ln avec Ln(exp(x))=x

la dérivée de ax + $e^u$ = a + u' $e^u$
essaye déjà de commencer et précise ou tu bloques vraiment.

pour la 1. a) j'y suis arrivé mais je bloque sur la 1. b) avec les changements de signe ... :s

On va changer le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, aucun changement lorsque que l'on ajoute ou soustrait, multiplie ou divise par un nombre positif ou quand on passe au Ln.
Donc dis moi ce que tu trouve je te dirais si c'est bon ou pas ^^

Je trouve x≥2 et pour la dérivée : f'(x)= 0,5 - 0,5e^(-0,5x+1)
du coup on sait que la dérivée change de signe en 2, alors sur ]0;2[ la dérivée est négative donc f décroit sur ]2;5[ f'(x) est positive donc f croit et quand x=2 f'(x)=0 donc la courbe admet un extremum au point d'abcisse 2.
C'est bon ? :$

1- e(-0,5x+1)≥0
1≥ e(-0,5x+1)
e(0)≥ e(-0,5x+1)
0≥-0.5x+1
-1≥-0.5x
-1/(-0.5)≤x
2≤x
tu as du faire une erreur de signe, du coup ton raisonnement est juste mais faut tout inverser(négative->positive; décroissant->croissant et inversement)

bha non je ne pense pas car sur la calculette la fonction f(x) decroit sur [0;2] et croit sur [2;5] donc sur ]0;2[ la dérivée est négative donc f decroit, et sur ]2;5[ f'(x) est positive donc f croit et quand x=2 f'(x)=0 donc la courbe admet un extremum au point d'abcisse 2

oui désolée oublie ce que j'ai marqué je devais pas être bien réveillé ^^
donc tu as raison c'est bien ca

Lool ok merci. Je vais essayer de faire la suite ...

Pour le B) question 1, le nombre d'objets à produire pour un coût total de production minimum est 200 ??

oui ^^

Dac' merci ! Par contre pour le bénéfice question B] 2°) a. je suis bloquée ...

Pour x=1, ca veut dire pour 100 objet le prix est de 600€ seulement l'unité est en milliers d'euros donc pour 100 objets le prix est de 0.6 milliers d'euros
donc les bénéfices c'est le prix vendu moins le coût total
c.a.d B(x)= 0.6x-f(x)

Cela donne B(x)= 0,1x + e^(-0,5x+1) ??
Et pour les variations je galère ^^ c'est décroissant mais je ne sait pas comment le justifier ... :s

Cela donne B(x)= 0,1x - e^(-0,5x+1) attention aux signes
bah suffit de dériver B(x) pour avoir ses variations ^^

mais pourquoi "0,1x - e^(-0,5x+1)" pourquoi le "-" ???

on a f(x)= 0,5x + e(-0,5x+1)

B(x)= 0.6x-f(x) on remplace ca donne:

B(x)= 0.6x-[0.5x + e(-0.5x+1)]
B(x)= 0.6x - 0.5x - e(-0.5x+1)
B(x)= 0.1x - e(-0.5x+1)

Voila ^^

ahhh lol ok ok ^^ merci

B'(x)=0,1x-0,5e^(-0,5x+1) ???

Pour les variations c'est decroissante sur [2,5] ?

B(x)= u + e(v) B'(x)= u' + v'e(v) donc B'(x)=0,1+0,5e(-0,5x+1)
exp toujours positive donc B' positive et B croissant

dac dac et enfin pour la question 3°) il faut faire comment :s?

Bah je pense que ca se fait à la calculette ^^

Non parce que il y avait une autre question ou il fallait resoudre graphiquement b(x)=0,
donc je pense que là faut le faire a la main mais c'est chaud il reste des "ln x" donc je sais pas ...

Ouais je sais pas trop non plus, a par calculer B(389) et B(388), comme la fonction est croissante et que B(389)>0 et B(388)<0 alors 389 est le minimum.
Si tu trouves autre chose tu pourras mettre la solution ^^

oui si je trouve pas de problème