Propriétés des tangentes à une parabole.


  • M

    Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O;I;J) on considère la parabole (P) d'équation y=ax² (ou ce qui revient au même la courbe représentative de la fonction f(x)=ax²) où a est paramètre réel non nul.

    a) Représenter (P) sur l'intervalle [0;2]

    fichier math

    b) soit x0 un réel non nul. On considère les points M(x0;ax0²) ∈(P), m(x0;0) m1(0;ax0²) et m2 symétrique de m1 par rapport à l'axe (O;I).
    Quels sont les coordonnées de m2?
    J'ai mis que comme m2 symétrique a m1, ses coordonnées sont (0,-ax²0)
    Calculer le coefficient directeur de la droite (m2M) en fonction de x0 et a.
    J'ai trouvé 2ax en utilisant yb-ya/xb-xa

    c) placer les points m, M, m1 et m2 sur la figure a) en prenant a=1 et x0=1 voir schéma

    d) démontrer que la droite (m2M) est la tangente à (P) au point M.
    Je n'ai pas réussi.

    e) Démontrer que les segments [m2M] et [Om] ont même milieu I dont on calculera les coordonnées.
    Je n'y suis pas arrivé non plus.


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    b)Oui

    Attention le coefficient directeur est 2ax02ax_02ax0

    d) On sait déjà que la droite (m2(m_2(m2M) passe par M. Il suffit de vérifier que son coefficient directeur est bien celui de la tangente à (P) en M.
    Par définition, ce coefficient directeur vaut f'(x0(x_0(x0)

    e) Utilise la formule des coordonnées du milieu d'un segment. Calcule les coordonnées du milieu de [m2[m_2[m2M] et celles du milieu de [Om] en fonction de x0x_0x0.
    Tu dois trouver le même résultat dans les 2 cas.


  • M

    J'ai pas compris pourquoi le coefficient directeur vaut f'(x0).
    mais sinon, si ça nous fait ça
    on a
    f'(x)=2ax
    f'(x0)=2ax0
    Je vais essayer la question e)


  • Thierry
    Modérateurs

    Thierry

    Par définition, ce coefficient directeur vaut f'(x0(x_0(x0)Je te laisse le vérifier par exemple dans ce cours sur la dérivation, lire la partie "interprétation géométrique".


  • M

    ok! Merci!
    J'ai trouvé la e)
    I(x0;0).
    Pourrais tu m'aider? Car il y a une suite que je n'ai pas posté.
    B) On rappelle que si deux droites (D) et (D') ont pour équation y=mx+p et y=m'x+p', alors les droites (D) et (D') sont perpendiculaires ssi mm'=-1.
    a) soit (∇) la perpendiculaire à (m2M) passant par I. Calculer l'équation de (∇).
    J'ai trouvé y=-1/2ax0+1/4a

    b) Soit F le point d'intersection de (∇) avec l'axe (O,j). Calculer les coordonnées de F.
    En déduire que F ne dépend pas de x0.
    J'ai trouvé F(0;1/4a)
    a partir de là, j'arrive pas les questions parce que je bloque a la c).

    c)Soit H le point d'intersection de (∇) avec la droite (mM). Calculer les coordonnées de H.

    d) démontrer que I est milieu de [FH]. En déduire que le triangle FMH est isocèle.

    e) soit T le point défini par MT=HM (vecteurs) et S le point défini par MS =HF
    on pose IFM= alpha. et on suppose que (MS,MI) et (MF,MI) sont directs. En déduire une mesure des angles FMI, (MS,MI) et (MF,MI)
    f) démontrer que (MS,MF)=(MT,MS)
    on doit utiliser la propriété dite du mirroir parabolique.


  • Thierry
    Modérateurs

    c) Tu as déjà l'équation de ∇. Il faut que tu fasses un système avec l'équation de (mM).

    d) Avec les coordonnées de F et de H, calcule les coordonnées de leur milieu.

    (pour la suite, si tu as complété la figure, je veux bien la voir).


  • M

    J'ai un probème. J'arrive pas a calculer l'équation de (mM) vu que le sytème est incorrect.
    on a:
    y=ax+b
    donc

    0=ax0+b
    ax0²=ax0+b

    -ax0=b
    ax0²-ax0=b

    ya donc un problème non?


  • Thierry
    Modérateurs

    (mM) étant une droite verticale, son équation est de la forme "x = un nombre". (ce nombre étant l'abscisse des points de la droite).


  • M

    ok donc son équation c'est x=xo?


  • Thierry
    Modérateurs

    oui


  • M

    merci, je vais essayer les autres questions maintenant que je suis débloqué


  • M

    J'arrive pas a résoudre l'équation x0= -1/2ax0+ 1/4a pour trouver les coordonnées de H.


  • Thierry
    Modérateurs

    Ton équation de droite n'est-elle pas plutôt : y=−1/2ax0y=-1/2ax_0y=1/2ax0x+1/4a ?

    Alors ton système est :
    ${x=x_0$
    ${y=-1/2ax_0$x+1/4a
    d'inconnues x et y.


  • M

    j'ai fait la figure. Pour la question d c'est bon. j'ai calculé I milieu de FH et après j'ai retrouvé les mêmes coordonnées. Par contre, pourrais tu m'expliquer pourquoi ils sont isocéles
    e) j'ai trouvé FMI= 45°
    (MS;MI) = π/2
    (MF,MI)= π/4
    après la f), c'est le néant.
    J'ai fait la figure (sur paint,donc pa de précision) que tu m'as demandé pour que tu voies un peu ce que ça donne.

    fichier math


  • M

    S'il vous plait, c'est pour demain. Je n'arrive pas la e) et la f) du B


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