Spé Math: Gauss, PGCD, Bézout ...

Bonjour à tous!
J'ai un devoir maison de spé math pour lundi et je bloque sur certaines questions .... Si vous pouviez me donner un petit coup de main .
Voici les exercices du devoir maison :

Exercice 1:
Soit n un entier naturel non nul. On considère les suites $a_n$ ), $b_n$ ) et $c_n$ ) définies par :
$a$ _n $4x10^n$ -1
$b$ _n $2x10^n$ -1
$c$ _n $2x10^n$ +1

Calculer les trois premiers termes de chaque suites
Quelle conjecture peut-on faire concernant la divisibilité de $a_n$ , $b_n$ et $c_n$ par 3 ? Démontrer la
Calculer $pgcd(a_n$ , $b_n$ )
4)Le nomre $b_3$ est il premier? Factoriser $a_{2n}$ et en déduire la décomposition en produit de facteurs premier de $a_6$
5)a) Démontrer que $pgcd(b_n$ , $c$ _n $pgcd(c_n$ ,2) et en déduire $pgcd(b_n$ , $c_n$ )
b) On considère l'équation $(E$ _n $b_n$ x $c_n$ y=1 ou x et y sont des entiers relatifs. Justifier que cette équation admet des solutions
c) Déterminer le reste de la division de $c_n$ par $b_n$ puis écrire la division euclidienne de $b_n$ par 2
d) En déduire une solution particulière de $E_n$ )
e) Résoudre $E_n$ )

Voila maintenant voici mes réponses :

Exercice 1:
1- $a_1$ =39 $a_2$ =399 $a_3$ =3999
$b_1$ =19 $b_2$ =199 $b_3$ =1999
$c_1$ =21 $c_2$ =201 $c_1$ =2001
2- On peut conjecturer que :
$a_n$ =3k
$b_n$ =3k+1
$c_n$ =3k
$a_n$ : 4≡1[3] , $10^n$ ≡1[3] donc $4x10^n$ -1≡0[3]
$b_n$ : 2≡2[3] , $10^n$ ≡1[3] donc $2x10^n$ -1≡1[3]
$c_n$ : 2≡2[3] , $10^n$ ≡1[3] donc $2x10^n$ +1≡0[3]
3- $pgcd(a_n$ , $c_n$ ) =3 Car ils sont tous deux congrues a 0 modulo 3
$4-b_3$ = 1999
$b_3$ n'est divisible par aucun nompre 1er p tel que 2< p <√1999 donc $b_3$ est premier
pour la factorisation je n'y arrive pas ... si vous pouvez me donner une piste
5-a) On utilise le lemme d'Euclide :
$2x10^n$ -1 = $2x10^n$ +1 -2
$2x10^n$ +1= -2 + $2x10^n$ +3
donc $pgcd(b_n$ , $c$ _n $pgcd(c_n$ ,2)
$pgcd(c_n$ ,2)=1 Car $c_n$ est impair et que 2 est pair
donc $pgcd(b_n$ , $c_n$ )=1
b) $c_n$ et $b_n$ étant premier entre eux, alors selon le théorème de Bézout il existe x et y entiers relatifs tel que $b_n$ x $c_n$ y=1
c) $c_n$ par $b_n$ :
$2x10^n$ +1= $2x10^n$ -1 +2
donc r=2
$b_n$ par 2 :
$2x10^n$ -1 = $2x(10_n$ -1) +1
Je n'arrive pas à faire la suite ... Comment doit ton procéder pour trouver un équation particulière de (E) et ensuite la résoudre ?

Désolé sa doit faire un peu bloc à lire, j'ai essayé au maximum de soigner ma présentation pour faciliter la lecture .
Je vous remercie d'avance pour votre aide
Meide

edit : 1 seul exercice par topic - merci

Un petit coup de main s'il vous plait

Bonjour,
Citation
2- On peut conjecturer que :
an=3k
bn=3k+1
cn=3kCe n'est évidemment pas le même k : à préciser.

Citation
3- pgcd(an , cn) =3 Car ils sont tous deux congrues a 0 modulo 3Le raisonnement est faux : ce sont tous deux des multiples de 3, donc leur pgcd est un multiple de3. Mais ce n'est pas forcément 3 ( ce pourrait être 9 ou un autre multiple de 3 ).
Mais ce n'est pas ce qui est demandé dans l'énoncé ? On demande le pgcd de an et bn ?

Citation
pour la factorisation je n'y arrive pasOn peut partir de $a_{2n}$ = $2*10^n$ )² - 1 et utiliser a² - b²
On trouve ainsi : $a_{2n}$ = $b$ _n $c_n$ : ça suffit pour la suite.

Citation
e n'arrive pas à faire la suite ... Comment doit ton procéder pour trouver un équation particulière de (E) et ensuite la résoudre ?On verra après. Achève d'abord la question 3 ( pgcd de an et bn ) et la question 4 ( décomposition de a6 ).

D'accord je préciserais pour la 2
Je me suis trompé dans l'énoncé c'est pgcd(an,cn) pour la 3

pgcd(an,cn)=3k car ils sont tous deux congrues a 0 modulo 3
$a$ _{2n} $= 4 x 10$ ^{2n} $- 1 = (2 x 10$ ^n $)$ ^2 $- 1$ ^2 $= (2 x 10$ ^n $- 1) (2 x 10$ ^n $+ 1) = b$ _n $xc_n$
$a$ _6 $= b$ _6 $x c$ _6 $= 2$ ^{14} $x5^{12}$ -1

C'est bon cette fois si ?

Merci de ton aide

Citation
3) pgcd(an,cn)=3k car ils sont tous deux congrues a 0 modulo 3Oui, mais il faut calculer cette valeur.
J'ai dit que le PGCD était un multiple de 3, mais je n'ai pas dit que ça ne pouvait pas être 3.
pgcd(an,cn) = pgcd(2cn-an,cn)= pgcd(3,cn) = ??

Citation
a6=b6xc6=2 $^{14}$ x5^{12}$-1
Pour commencer, ce n'est pas un produit de facteurs à cause du -1 à la fin.
Ensuite, il y a confusion : a2n = bncn, donc a6 = b3c3.
Continue.

Je dois me déconnecter.
A plus tard.
Si c'est urgent, sollicite un Modérateur par message privé.

3)J'ai compris le raisonnement pour la 3 mais je n'arrive pas à touver le pgcd par euclide, comment fait on ? Quel méthode doit on utiliser ?
je fais comme sa :
$3 = 3 x (2 x 10$ ^n $1)-6x10^n$
$2x10^n$ +1= $6 x 10$ ^n $4x10^n$ +1
Et sa ne finit jamais ...

$4) a$ _6 $= b$ _3 $xc_3$ =1999x2001=3999999=3x23x29x1999

Pour la 3 :
On n'est pas obligé d'utiliser l'algo d'Euclide ( d'ailleurs on ne te le demande pas ).
De toute façon, l'algo d'Euclide est un cas particulier utilisant les propriétés fondamentales suivantes :
pgcd(x,y) = pgcd(x,x+y) = pgcd(x,x-y).
Autrement dit, si un nombre divise deux nombres, il divise leur somme, leur différence, et plus généralement toute combinaison de ces deux nombres.
Dans ma recherche, j'ai utilisé le fait que pgcd(an,cn) = pgcd(2cn-an,cn) parce que j'avais remarqué que 2an -cn = 3
D'où pgcd(an,cn) = pgcd(3,cn) = 3 car 3 est un diviseur de cn.

L'algo d'Euclide se termine toujours. Tu as l'impression que non parce que tu as des difficultés ( dans cet exercice ) à déterminer le reste de la division, reste dont on doit être sûr qu'il est inférieur au diviseur.
Mais comme je viens de le dire, inutile ici d'utiliser cet algo dans sa forme complète.
Si toutefois tu y tiens, je te montre :
étape 1 : on divise an par cn : an = q.cn + r
On pourrait penser que q = 2, mais alors on trouve un reste négatif, donc q = 1.
Ce qui donne : an = 1.cn + r , d'où r = $2*10^n$ -2 qui est bien inférieur à cn.
étape 2 : on divise cn par r : cn = q'r + r'
Facile : q' = 1 et r' = 3 qui est bien inférieur à r car n ≥ 1.
étape 3 : inutile puisque tous les nombres utilisés sont des multiples de 3 : 3 est le pgcd.
Comme tu vois, c'est possible de le faire, ça s'arrête ( heureusement ), mais c'est beaucoup moins simple que l'autre méthode plus directe.

La réponse 4 est juste. Mais tu n'as pas besoin de calculer a6 avant de le décomposer : tu sais déjà que 1999 est premier, il suffit de décomposer 2001.

Donc okay je résume l'exercice 1 :
1- a1=39 a2=399 a3=3999
b1=19 b2=199 b3=1999
c1=21 c2=201 c1=2001
2- On peut conjecturer que :
$a_n$ =3k
$b_n$ =3p+1
$c_n$ =3q
$a_n$ : 4≡1[3] , $10^n$ ≡1[3] donc $4x10^n$ -1≡0[3]
$b_n$ : 2≡2[3] , $10^n$ ≡1[3] donc $2x10^n$ -1≡1[3]
$c_n$ : 2≡2[3] , $10^n$ ≡1[3] donc $2x10^n$ +1≡0[3]
3-pgcd(an,cn) = pgcd(2cn-an,cn) or 2an -cn = 3
D'où pgcd(an,cn) = pgcd(3,cn) = 3 car 3 est un diviseur de cn.
$4-b_3$ = 1999
$b_3$ n'est divisible par aucun nompre 1er p tel que 2< p <√1999 donc $b_3$ est premier
$a$ _{2n} $= 4 x 10$ ^{2n} $- 1 = (2 x 10$ ^n $)$ ^2 $- 1$ ^2 $= (2 x 10$ ^n $- 1) (2 x 10$ ^n $+ 1) = b$ _n $xc_n$
Donc :
$a$ _6 $= b$ _3 $xc_3$ =1999x2001=3x23x29x1999
5-a) On utilise le lemme d'Euclide :
$2x10^n$ -1 = $2x10^n$ +1 -2
$2x10^n$ +1= -2 + $2x10^n$ +3
donc pgcd(bn, cn)=pgcd(cn,2)
pgcd(cn,2)=1 Car cn est impair et que 2 est pair
donc pgcd(bn, cn)=1
b) cn et bn étant premier entre eux, alors selon le théorème de Bézout il existe x et y entiers relatifs tel que bnx +cny=1
c) cn par bn :
$2x10^n$ +1= $2x10^n$ -1 +2
donc r=2
$b_n$ par 2 :
$2x10^n$ -1 = $2x(10^n$ -1) +1

Pour faire la d il faut utiliser euclide ?
d- $1=(2x10^n$ -1 ) - $2x(10^n$ -1)
1= $2x10^n$ -1 ) $2x10^n$ +1
donc ce serai x=1 et y=-1
Mais sa marche pas quand je fais le calcul ...

Bon, pour la 5)d) que tu ne sais pas faire, on peut toujours trouver une solution particulière de façon empirique.
Mais si on te demande d'en déduire une à partir de la question précédente, tu peux raisonner ainsi :
cn ≡ 2 modulo bn ( puisque le reste de la division de cn par bn est 2).
Donc l'égalité bn.x + cn.y = 1 donne modulo bn :
0 + 2y ≡ 1 modulo bn
On peut tenter 2y = bn + 1 ce qui donne y = $10^n$ .
En reportant dans bn.x + cn.y = 1 tu trouves la valeur correspondante de x.
Que trouves-tu ?

Je trouve $x=1-cn10^n$ /bn
x= $(1 - 2 x 10$ ^n $10^n$ ) /( $2x10^n$ +1)
J'arrive pas à le réduire par contre ...

Tes calculs sont faux. Evidemment, le résultat doit être entier.
bn.x + cn.y = 1
donc bn.x = 1-cn. $10^n$
bn.x = $1-10^n$ (2. $10^n$ +1) ( puisqu'on a choisi y = $10^n$ )
bn.x = 1-2. $10^{2n}$ - $10^n$
bn.x = $1-10^n$ )(2. $10^n$ -1)
D'où x = -1 - $10^n$

Surtout vérifie : personne n'est à l'abri d'une erreur.

Je ne comprend pas comment tu fais à trouver la factorisation ... Peux tu m'expliquer ?

Développe ce produit : tu dois retomber sur la ligne d'avant.

je trouve
$(2 x 10$ ^n $1)(-10^n$ -1)= $- 2 x (10$ ^{2n} $10^n$ ) $10^n$ +1

Oui, excuse-moi : c'est $10^{2n}$ , pas $10^{n+1}$
Je corrige :
bn.x = $1-10^n$ (2. $10^n$ +1) ( puisqu'on a choisi y = $10^n$ )
bn.x = 1-2. $10^{2n}$ - $10^n$
bn.x = $1-10^n$ )(2. $10^n$ -1)
D'où x = -1 - $10^n$

Tu trouves
$(2 x 10$ ^n $1)(-10^n$ -1)= $2x(10^{2n}$ +10n) $10^n$ +1
Continue :
= -2. $10^{2n}$ -2. $10^n$ + $10^n$ + 1
= -2. $10^{2n}$ $10^n$ +1 : ça marche ?

C'est bon j'ai compris, je résous l'équation diophantienne et je poste les résultats !

Je dois me déconnecter.
J'ai vu sur tes réponses à l'exercice 2 ( il a été effacé par la suite ) que tu sais passer d'une solution particulière ( on en tient une ) à la solution générale.
Donc ça ne devrait pas poser de problème.
A plus tard.

Je trouve comme solution :
$x=(2x10^n$ +1)k $1-10^n$
$y = - (2 x 10$ ^n $1)k+10^n$

Merci de ton aide, j'ai finis le deuxième exercice et j'ai donc finis mon dm !
Si tu pouvais juste me confirmer ma dernière réponse ?

Merci Encore

C'est juste.
Tu pouvais conserver les notations bn et cn, puisque je ne vois pas d'amélioration d'écriture avec les $10^n$ .
Précise qu'il s'agit ici du même k et qu'il est de signe quelconque ( entier relatif ).
Bon courage.

Merci beaucoup de ton aide

De rien.