Lever l'indetermination d'une fonction


  • A

    Bonjour à tous,

    j'ai un petit problème concernant l'étude des limites d'une fonction:

    Soit f(x)=(x2−3x+1)e−xf(x)=(x^2-3x+1)\text{e}^{-x}f(x)=(x23x+1)ex

    En −∞-\infty :

    x2−3x+1x^2-3x+1x23x+1 tend vers +∞+\infty+
    et e−x=1ex\text{e}^{-x} = \frac{1}{\text{e}^x}ex=ex1 tend vers +∞+\infty+

    On en déduit lim⁡x→−∞f(x)=+∞\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\inftylimxf(x)=+

    A priori ça me semble correct

    En +∞+\infty+ :

    x2−3x+1x^2-3x+1x23x+1 tend vers +∞+\infty+ et e−x=1ex\text{e}^{-x}= \frac{1}{e^x}ex=ex1 tend vers 0

    Je me retrouve avec une forme indéterminée du type "∞×0\infty \times 0×0"

    J'ai essayer de réécrire ça mais je ne trouve pas de limite usuelle ou des simplifications.

    J'ai vérifié sur ma calculette et je trouve en +∞+\infty+ une limite égale à 0.

    N'y a t-il pas une limite usuelle en +∞+\infty+ tel quexe−x=0x \text{e}^{-x} = 0xex=0 ? Comment le prouver?
    On sait par exemple que lim⁡x→−∞xex=0\lim_{x \to -\infty} x \text{e}^x =0limxxex=0 n'y aurait-il pas une transformation?

    Comme ça je pourrais écrire f(x)=x2e−x−5xe−x+e−xf(x)=x^2 \text{e}^{-x} -5 x \text{e}^{-x} + \text{e}^{-x}f(x)=x2ex5xex+ex

    Quelqu'un peut-il m'aider?

    Merci


  • Zauctore

    Salut

    En écrivant f(x)=x2ex−5xex+1exf(x) = \frac{x^2}{ \text{e}^{x}} -\frac{5 x}{ \text{e}^{x}} + \frac{1}{\text{e}^{x}}f(x)=exx2ex5x+ex1

    sachant que lim⁡u→+∞ euuk=+∞\lim_{u \to + \infty}\ \frac{\text{e}^u}{u^k} = +\inftylimu+ ukeu=+,

    c'est-à-dire par inversion lim⁡u→+∞ ukeu=0\lim_{u \to + \infty}\ \frac {u^k}{\text{e}^u} = 0limu+ euuk=0

    ...


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