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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Exercice avec équations du 3ème degré...

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 01.11.2005, 14:57



enregistré depuis: nov.. 2005
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dernière visite: 14.01.06
Bonjour à toutes et à tous,
Voilà : J’ai un exercice de math à faire, et je bloque sur une question qui revient à deux reprises dans cet exercice. En voici une des deux :

Voici tout ce que l’on sait :
Soit l’équation (E) : x^ 3 = px + q
On pose x = u + v, et on dit que :
uv = p/3
u^3 + v^3 = q
u^3 . v^3 = (p^3)/27

(E) est aussi égale à : u^ 3 + v^3 + (3uv – p)(u + v)

Voilà la question : En déduire une équation du second degré (E’) associée à l’équation (E) qui permet de calculer u^3 et v^3.. C’est là que je bloque !! J’arrive à fait tout le reste de l’exercice, mais pas ce point la ! Merci de bien vouloir m’aider…

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Envoyé: 01.11.2005, 15:39

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
j'ai fait un document à ce sujet (pour moi c'est x3 + px + q = 0) à trouver dans la rubrique "Cours et Math-fiches", de "1ère".
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Envoyé: 01.11.2005, 18:16



enregistré depuis: nov.. 2005
Messages: 7

Status: hors ligne
dernière visite: 14.01.06
Merci pour ces fiches précieuses et très bien faites ! Il y a juste un petit point que j'aimerais que vous m'expliquiez.. Les dernières lignes de la page 4 et les premières de la page 5, que voici :

Pour y voir plus clair, posons : a = u3 et b = v3.

Alors les conditions (7) s’écrivent :
a b = −p3/27 et a + b = −q.
Autrement dit, il s’agit de trouver deux nombres a et b connaissant leur
somme S = −q et leur produit P = −p^3/27. On sait que ceci n’est possible que sous la condition : S2 − 4P³> 0, c’est-à -dire, ici :
q² + (4 p^3) / 27 ³ > 0

(On rappelle que a et b sont solutions, si elles existent, de l’´equation X2 −S x+P = 0,
dont le discriminant est D = S2 − 4 P.)

ce qui s’écrit finalement : 4 p^3 + 27 q² ³ 0.

Dans ce cas, les nombres a et b sont les solutions de l’équation :
X² + qX −(p^3 / 27) = 0.

Je n'ai pas compris notamment les notes mises entre parenthèses.. et comment vous arrivez à écrire l'équation finale X² + qX −(p^3 / 27) = 0
Merci encore !!
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Envoyé: 01.11.2005, 18:24

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
Il existe un théorème classique :

deux nombres u et v tels que
u+v = S et uv = P
sont solutions de l'équation
X² - Sx + P = 0
.

En effet, on a u(u+v) = u² + uv = uS d'une part, et d'autre part
u² + uv = u² + P. Donc u² + P = Su. On peut faire pareil pour v.
Ce qui prouve le théorème.

Ce qui est bien, c'est qu'avec les formules du second degré, on a les moyens de trouver les solutions de cette équation facilement.

Exemple : trouver u et v tels que u+v = 20 et uv = 93,75.
ce sont les solutions de X² - 20X + 93,75 = 0, que je te laisse résoudre.

On a aussi le moyen de discriminer l'existence de solution au problème de trouver u et v de somme S et de produit P.
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