limites de suites ( fonction exponentielle)

bonjour tout le monde, j ai deux exercice a réaliser mais je bloc des le départ dans les deux :frowning2: !!
exo1
on définit la suite (Sn) n∈N* par:
Sn= $e^{-1/n²}$ $e^{-2/n²}$ $e^{-3/n²}$ +... $e^{-n/n²}$ =∑exp(k/n²) (k=1 sous la somme )

1)on me demande de démontrer pour tout réel x négatif: 1+x≤ $e^x$ ≤x+x²/2
2)a)justifier que pour entier n ≥1: 1²+2²+3²+...+(n-1)²+n²≤n*n²

( pour cette question j ai essayer d utiliser la récurrence mais je n arrive pas a aboutira un résultat cohérent)

b) démontrer que pour tout entier naturel non nul n :
n-((n+1)/2n)≤ Sn ≤n-((n+1)/(2n))+1/2n
( pour cette question je pense utiliser l encadrement 1 mais pourriez vous m expliquer comment réaliser une somme d exp ) svp

3)on pose pour tout entier naturel n non nul, Un=Sn -n +1/2
prouver que pour tout n≥1 : (-1/2n)≤Un ≤0 et déduire la limite de Un en + infini lorsque n tend vers + infini

merci de m expliquer les différentes étapes de cet exercice car il est en préparation d un devoir sur table :rolling_eyes:
[u]

uupppp !!!!!!
j espere que vous pouvez m aider car je coince vraiment!!!!!! :frowning2:

bonjour tout le monde !!!

j essaye toujours de faire cet exercice et je n arrive pas a aboutir a la question 2) a)
j ai essayer de réaliser une somme d exponentielle mais je ne trouve pas résultat ( je ne vois d ou viens (n+ )/n et (n+1)/2n

si vous pouviez m aider ce serait sympathique

Bonsoir

dans la question 2a) la somme 1²+2²+3²+...+(n-1)²+n² contient exactement n termes qui sont tous inférieurs à ...

pour 2b) je pense plutôt à utiliser 1+u ≤ $e^u$ ≤ u+u²/2 pour tout u négatif : il te suffira de prendre u = -1/n² puis u = -2/n² etc. jusque u = -n/n² et d'écrire les différents encadrements obtenus.