limite logarithme

Bonsoir,
Alors voila je suis en train de réviser pour mon Bac Blan en math
Mais là je me suis rendu compte qu'il me manque quelques démonstrations BAC sur la fonction logarithme.

D'abord,
comment pourrais-je démontrer que:
lim (lnx)/x = 0
×→+∞

Merci d'avance

Bonsoir,

Une démonstration :
Etudie la fonction g(x) = lnx - √x et montre que pour x > 0, lnx < √x.

J'ai calculé la dérivée de g(x) et je trouve

g'(x) = (2√x - x) / (x * 2√x)

Mais maintenant comment en étudier le signe ?

Tu peux simplifier par √x puis tu résous l'équation g'(x) = 0.

pour les racines de l'équation g'(x) = o

Je troive x=0 ou x=4

Alors quand j'établis les variation de g(x) je trouve :

pour x ∈ ]-∞,0[ : g'(x) > 0 : donc g(x) croissant
pour x ∈ ]0,4[ : g'(x) < 0 : donc g(x) décroissant
pour x ∈ ]4,+∞[ : g'x) > 0 : donc g(x) croissant

Il me semble qu'il y a un problème ....

la fonction est définie sur ]0 ; +∞[, donc fais l'étude sur cet intervalle.
vérifie tes calculs sur les variations.
Cherche le maximum de la fonction.

Bonjour,
Et bien, quand je cherche la dérivée de g(x) :
Cela me donne :
g'(x) = (2 - √x) / (2x)
Donc pour tout x ∈ ]0,+∞[ , 2x > 0 et g'(x) est du signe de 2 - √x
2 - √x = 0
√x = 2
x = 2²
x = 4

Donc g'(x) < 0 sur ]0,4[ : et g(x) est décroissant
g'(x) = 0 pour x = 4
g'(x) > 0 sur ]4, +∞[ : et g(x) est croissant

Encore une fois je ne vois pas où est mon erreur car quandje trace la fonction g(x) à la calculatrice , la fonction est tout le temps croissante

.....
Merci d'avance pour vos réponses

Les calculs sur les variations sont faux :
Si x = 1
g'(1) = (2 - √1) / (2) = 1/2 qui est > 0

Donc
" g'(x) < 0 sur ]0,4[ : et g(x) est décroissant" est faux

Attention à l'écriture de la fonction sur la calculatrice, parenthèses ?

Non, même en ayant bien mis des parenthèse quand je tape
g(x) = ln(x) - √x : je trouve une fonction tout le temp croissante

Si vous pourriez me dire, c'est à partir de où que j'ai faux :
est-ce à la dérivée ?
ou est-ce lors de la recherche des racines et du signe de la dérivée ?

g'(x) = (2 - √x) / (2x)
Donc pour tout x ∈ ]0,+∞[ , 2x > 0 et g'(x) est du signe de 2 - √x
2 - √x = 0
√x = 2
x = 2²
x = 4 C'est juste

Donc g'(x) < 0 sur ]0,4[ : et g(x) est décroissant : faux
g'(x) = 0 pour x = 4 : juste
g'(x) > 0 sur ]4, +∞[ : et g(x) est croissant : faux

La fonction g est croissante puis décroissante, elle admet un maximum dont tu dois chercher les coordonnées.

ah oui,
donc :
g'(x) > 0 sur ]0,4[ : et g(x) croissant
g'(x) = 0 pour x = 4 et g(4) = ln(4) - 2 : maximum de g(x)
g'(x) < 0 sur ]4, +∞[ : et g(x) décroissant

Donc, g(x) < 0
par conséquent ln (x) - √x < 0
Et ln (x) < √x

Est-ce juste ?
Et comment cette démonstration, peut m'amener à colure que :
lim (ln x) / x = 0
x→+∞

Merci d'avance ...

Pour x > 0
ln (x) < √x
donc
ln(x)/x < √x/x

et la lim √x/x quand x tend vers +∞ est ....

Donc lim √x / x quand tend vers +∞ = 0
et comme lnx / x < √x / x
alors lim lnx / x quand x tend vers +∞ = 0

Est-ce correct ?

C'est correct.

Un grand merci à toi Noemi