Problème achat de stylos

J'ai acheté 100 stylos pour une somme de 100 Euro.
Combien de stylos j'ai acheté pour 0.5 euro, 2.5 euro et 10 euro?

Merci pour vos réponses
elrabin

Salut elrabin,

Si je comprends bien il existe trois types de stylo, un à 0.5€, un à 2.5€ et un à 10€
Donc il s'agit en fait de résoudre le système d'équations diophantiennes : 0.5x+2.5y+10z=100 et x+y+z=100 ...

Pour aiguiller sur la méthode, on peut remarquer que le stylo à 10€ est très cher et qu'on n'a donc peu de possibilités pour le nombre de stylos de ce type que l'on va acheter...

Bonjour,

Ce raisonnement tient-il la route?

Donc, on a:

$22x+52y+10z=100\frac{2}{2}x+\frac{5}{2}y+10z=100$
et
$x + y + z = 100$

=> $22x+52y+10z=x+y+z\frac{2}{2}x+\frac{5}{2}y+10z=x+y+z$

=> $−12x+32y+9z=0-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+9z=0$

=> $- x + 3 y + 18 z = 0$

=> $x = 3 y + 18 z$ (expression de x en fonction de y et z.)

=> dans 2):

$3 y + 18 z + y + z = 100$

$4 y + 19 z = 100$

$y=100−19z4y=\frac{100-19z}{4}$

$y=25−194zy=25-\frac{19}{4}z$

Or $x, y, z$ sont des entiers

Donc $194z\frac{19}{4}z$ est entier si z est multiple de 4.

Or $z≤9z\leq 9$ et $192\frac{19}{2}$ n'est pas entier.

Alors:

$z = 4$

$y=100−764=6y=\frac{100-76}{4}=6$

$x = 100 - 6 - 4 = 90$

A+-*/

Bonjour,
Je ne comprends pas bien la condition z ≤ 9.
Pour que y = 25 - (19/4)z soit positif, il faut ( et il suffit ) que z ≤ 5 ?

Il faut donc en résumé que z soit un entier positif multiple de 4 et inférieur à 5.
Il y a donc une autre solution que celle que tu donnes : z = 0 ( d'où y = 25 et x = 75 ).

mathtous
Bonjour,
Je ne comprends pas bien la condition z ≤ 9.
Pour que y = 25 - (19/4)z soit positif, il faut ( et il suffit ) que z ≤ 5 ?

Il faut donc en résumé que z soit un entier positif multiple de 4 et inférieur à 5.
Il y a donc une autre solution que celle que tu donnes : z = 0 ( d'où y = 25 et x = 75 ).

'jour,

J'ai pensé que, si dans l'énoncé il est écrit 3 prix différents, il était entendu qu'au minimum un exemplaire des trois modèles serait acheté.

z≤9 vient du fait que plus de 9 stylos à 10€ ne laisseraient pas la possibilité d'en acheter d'autres. (max 100€)

"Pour que y = 25 - (19/4)z soit positif, il faut ( et il suffit ) que z ≤ 5 ?": je n'y avait pas pensé (zut!).
Ta conclusion est exemplaire (mis à part z=0 )

A+-*/

Citation
... il était entendu...En Mathématiques, "sous-entendu" rime souvent ( heureusement pas toujours ) avec "malentendu".
Tout le mal vient du fait qu'on veut "vendre du concret" . Quel besoin a-t-on "d'habiller" l'équation diophantienne avec des stylos ?
Si on résout cette équation "abstraite"( sur des entiers quand même naturels ), on doit donner la solution avec z = 0 ( zéro est un nombre entier comme toi et moi ).
Libre ensuite à qui le veut de revenir au "problème concret" et de préciser que cette dernière solution n'est pas "appropriée".

'r'jour,

"l'équation diophantienne", je ne savais pas ce que c'était avant de prendre connaissance de ce sujet. Wikipedia m'a instruit.
Je prends bonne note que les maths ont priorité sur les faits et que zéro est.

Je tâcherai de ne plus sous-entendre en ce qui concerne ce type dénoncé.

Merci encore.

Non, non : ne le prends pas mal.
Trop sous-entendre est nuisible.
Mais ne rien sous-entendre du tout l'est également.
C'est bien souvent le contexte qui nous indique quels abus de langage ou de notations peuvent être tolérés ou non.
Par exemple, j'éviterai d'écrire 1 + 1 = 0 en dehors de tout contexte.
Mais si mon interlocuteur et moi-même convenons d'être en train de travailler sur l'anneau des entiers modulo 2, alors une telle écriture est acceptable ( bien qu'incorrecte ).
Dans le problème des stylos, j'ai écarté le sous-entendu "nombres non nuls". En revanche, j'ai accepté l'autre sous-entendu : "entiers naturels".

Bonjour,

J'ai noté une erreur (que j'ai commise):
Bigre!
"Or $z≤9z\leq 9$ et $192\frac{19}{2}$ n'est pas entier".

$192???\frac{19}{2}???$ c'était plutôt $19 < e m > 2$ (soit $2 < / e m > 4 / 4$ )qui est entier mais $19 * 2$ > que $25$ et donc $y$ est < 0 et cela ne se peut pas.

(Je ne parviens pas à trouver le symbole "<" dans l'éditeur LaTex)

A+-*/

En effet, mais il n'y a de 19/2 nulle part ( c'est 19/4 qui intervient dans tes calculs ), pas plus que je ne vois 192 ?
Reprenons ( si je n'ai pas trop oublié ) :
y = 25 - (19/4)z
Donc z doit déjà être un multiple de 4 pour que y soit entier.
Et de plus, y doit être positif, donc 25 > (19/4)z
Donc z < 100/19 et puisque z est entier : z ≤5.
je ne vois ni de 19/2 ( c'est peut-être une coquille ) ni de 192 ( là tu as dû faire un raisonnement qui m'échappe ).

Bonjour,

Carlun

$y=25−194zy=25-\frac{19}{4}z$

Or $x, y, z$ sont des entiers

Donc $194z\frac{19}{4}z$ est entier si $z$ est multiple de $4$ .

Or $z≤9z\leq 9$ et $192\frac{19}{2}$ n'est pas entier.

Le $192\frac{19}{2}$ est faux: Pour $z = 8$ (multiple de $4$ ) j'ai simplifié $84=12\frac{8}{4}=\frac{1}{2}$ au lieu de $21\frac{2}{1}$ .

Correction donc:
$19∗8419*\frac{8}{4}$ > que $25$ et donc $y$ est <0 et cela ne se peut pas.

A+-*/

Bonjour,
Bien sûr.
En fait, il suffit de chercher les multiples de 4 entre 0 et 5 ( donc 8 ne peut convenir ).