barycentre et aire


  • B

    Bonjour voilà j'ai un DM de maths a rendre et le problème c'est que je n'arrive pas et je bloque.
    Si vous pouviez m'aider s'il vous plait.

    Voila l'énoncé:

    Soit ABC un triangle quelconque, et M un point intérieur à ce triangle. On définit alors N milieu de [AM], P milieu de [BN], et Q celui de [PC).

    On veut déterminer la position du point M pour que les points M et Q soient confondus.

    1/ Ecrire Q comme barycentre de A, M, B, C.
    2/ En deduire que: M=Q <=> M est le barycentre des points pondérés A(1), B(1), C(4).
    3/ Montrer que, dans ce cas, l'aire du triangle ABC vaut 7 fois celle de MNP.

    Merci d'avance pour votre aide!

    on sait que N milieu de [AM] P milieu de [BN]
    donc N isobarycentre de A et M donc P isobarycentre de B et N
    N barycentre de (A;1) (M;1) P barycentre de (B;1) (N;1)

    Q milieu de [PC]
    donc Q isobarycentre de P et C
    Q barycentre de (P;1) (C;1)


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Indique tes éléments de réponse.
    1/ Donne l'écriture vectorielle pour le barycentre Q.


  • B

    1/ G barycentre de (A;1) (M;1) (B;2) (C;4)
    je sais pas si c'est sa et comment le démontrer ?

    Comment fait-on pour les questions 2 et 3 s'il vous plait ?


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    Q bar {(C;4)(P;4)} et P bar {(B;2)(N;2)} donc par associativité Q bar {(C;4)(B;2)(N;2)}.

    Comprends-tu ce que je viens d'écrire ?


  • Thierry
    Modérateurs

    bogos13

    2/ En deduire que: M=Q <=> M est le barycentre des points pondérés A(1), B(1), C(4).
    Vérifie que tu as bien recopié ton énoncé ... j'ai un doute.


  • B

    Bonsoir, merci de m'avoir répondu.

    Non je ne comprend pas trop, pouvez vous m'epliquer ? S'il vous plait.

    2/ En deduire que: M=Q <=> M est le barycentre des points pondérés A(1), B(1), C(4).
    En effet je me suis trompé sur l'énoncé : c'est M barycentre de (A;1) (B;2)(C;4).
    Comment fait-on pour montrer cela ?

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Thierry

    Q bar {(C;4)(P;4)} et P bar {(B;2)(N;2)} donc par associativité Q bar {(C;4)(B;2)(N;2)}.
    J'ai remplacé P dans le 1er barycentre par ce de quoi il est le barycentre. En général on utilise l'associativité dans l'autre sens. Tu saisis ?


  • B

    Bonjour, merci de m'avoir répondu.

    J'ai compri pour la question 1, merci.

    Pouvez vous m'expliquer pour les questions 2 et 3 parce que je n'arrve pas. S'il vous plait.

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    1. Le fait que Q soit barycentre de A, M, B, C te donne une relation vectorielle (celle de la définition du barycentre).
      Dans cette relation, tu remplaces Q par M ...

  • B

    Bonjour, merci de m'avoir répondu.

    J'ai essayé et j'ai trouvé ça :

    Q barycentre de (A;1) (M;1) (B;2) (C;4)
    1+1+2+4=8
    8 différent de 0 donc Q existe et est unique

    Q vérifie : QA + QM + 2QB + 4QC = 0
    équivaut à QM + MA + QM + 2QM + 2MB+ 4QM + 4 MC = 0
    équivaut à 8QM + MA + 2MB + 4MC = 0

    Donc M barycentre de (A;1) (B;2) (C;4) D'ou M = Q

    ES ce que c'est bon ?

    De plus comment fait-on la question 3 s'il vous plait ?

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Non.
    bogos13

    QA + QM + 2QB + 4QC = 0
    Remplace simplement Q par M dans cette relation (puisque l'énoncé précise M=Q).


  • B

    Bonjour, merci de m'avoir répondu.

    De plus pouvez vous m'expliquer et m'aider pour la question 3 s'il vous plait.

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    barycentre et aire dans un triangle

    Hummm ...


  • Thierry
    Modérateurs

    J'ai une piste à exploiter ...

    Saurais-tu expliquer pourquoi :

    • AMC et AMP ont la même aire
    • ainsi que BNA et BNM
    • et aussi CPB et CBN

    Ces paires de triangles ont des hauteurs communes n'est-ce-pas ?


  • B

    Bonsoir, merci de m'avoir répondu.

    En effet, je vois que ces triangles ont des hauteurs communes.
    Mais je ne sais pas expliqué pourquoi.
    Pouvez vous m'expliquer et m'aider s'il vous plait.

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Tu sais ce qu'est une hauteur non ? Donne m'en la définition.

    fichier math
    Vois-tu pourquoi 7 triangles dans le triangle ABC ont tous la même aire ?


  • B

    Bonsoir, merci de m'avoir répondu.

    Hauteur : on appelle hauteur issue de A dans le triangle ABC, la droite notée A qui passe par A et qui est perpendiculaire à la droite (BC).

    Je vois bien 7 triangles dans le triangle ABC. Oui ils ont tous la même aire. Mais qu'elle rédaction faut-il faire pour démontrer cela ?
    Pouvez vous m'aider s'il vous plait.

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Oui pour la hauteur. Donc dès lors que deux triangles ont un sommet commun et une base commune, ils ont une hauteur commune.

    Rappelle-toi la formule permettant de calculer l'aire d'un triangle.
    Comprends-tu pourquoi MPN et MPB ont la même aire ?


  • B

    Bonjour. Merci de m'avoir répondu.

    bxh/2

    MPN et MPB ont la même aire car ils ont une base en commun et donc une hauteur c'est sa ?

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Disons plutôt que leurs bases ont même longueur.

    Maintenant trouve toutes les paires de triangles de même aire dans le grand triangle.


  • B

    Bonjour, merci de m'avoir répondu.

    Donc alors :
    Dans le triangle CNP (NM) est une médiane donc aire (CNM) = aire (NMP)
    Dans le triangle AMC (CN) est une médiane donc aire (CNM) = aire (ANC)

    Dans le triangle AMP (NP) est une médiane donc aire (ANP) = aire (NMP)
    Dans le triangle ABN (AP) est une médiane donc aire (ANP) = aire (APB)
    Dans le triangle MNB (MP) est une médiane donc aire (MNP) = aire (MPB)Dans le triangle CPB (QB) est une médiane donc aire (CQN) = aire (QPB)

    Voila et après qu'es ce qu'on doit faire ? Pouvez vous m'aider s'il vous plait.

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    bogos13

    Dans le triangle CNP (NM) est une médiane donc aire (CNM) = aire (NMP)
    Dans le triangle AMC (CN) est une médiane donc aire (CNM) = aire (ANC)
    Que peux-tu donc dire des aires de MNP et de ANC ?


  • B

    Bonjour, merci de m'avoir répondu.

    On peut dire qu'ils ont la même aire.
    C'est ça ?

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Oui. Tu dois ainsi trouver qu'ils ont tous la même aire.


  • B

    Bonjour, merci de m'avoir répondu.

    Je ne comprendpas comment il faut raisonner.
    Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait.

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Tu dois raisonner pour tous les triangles comme tu l'as fait pour MNP et ANC.


  • B

    Bonjour,

    alors :
    Dans le triangle AMP (NP) est une médiane donc aire (ANP) = aire (NMP)
    Dans le triangle ABN (AP) est une médiane donc aire (ANP) = aire (APB)
    Donc le triangle NMP et APB ont la même aire

    Dans le triangle MNB (MP) est une médiane donc aire (MNP) = aire (MPB)Dans le triangle CPB (QB) est une médiane donc aire (CQN)= aire (QPB)
    Donc le triangle MPB et QPB ont la même aire

    Je sais pas si c'est sa ?

    Merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Bah il s'agit d'utiliser la transitivité : si a=b et b=c alors a=b=c
    Trouve des triplets (a,b,c) de triangles de même aire.

    Ici ça marche :
    bogos13
    Dans le triangle AMP (NP) est une médiane donc aire (ANP) = aire (NMP)
    Dans le triangle ABN (AP) est une médiane donc aire (ANP) = aire (APB)
    Donc le triangle NMP et APB ont la même aire

    Là je ne te comprends pas :
    bogos13
    Dans le triangle MNB (MP) est une médiane donc aire (MNP) = aire (MPB)Dans le triangle CPB (QB) est une médiane donc aire (CQN)= aire (QPB)
    Donc le triangle MPB et QPB ont la même aire


  • B

    Bonjour, merci de m'avoir répondu.

    Alors : ANC = CNM = ANP
    CMB = CNM = MNP
    PAB = PAN = PBM
    PAB = PQN = PQB

    Es ce que c'est comme ça ?

    Merci d'avance.


  • B

    Bonsoir, pouvez vous m'aider et m'expliquer s'il vous plait.

    Merci d'avance.


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