parabole et lieu géométrique


  • C

    Bonjour!
    Pouvez-vous m'aider, s'il vous plait! Me donner quelque piste. Je n'ai vraiment pas compris.
    Merci d'avance!

    Dans un repère (0,i→i^\rightarrowi,j→j^\rightarrowj) on note P la parabole d'équation y=x² et A le point de coordonnées (0;1). Une droite d de coefficient directeur m passe par A et P en M et N.
    Soit I le milieu du segment [MN] on veut examiner les positions successives du point I lorsque la droite d pivote autour de A.

    1. Faire une figure; P et d se coupent-elles toujours en deux points? Quelle courbe semble parcourir le point I lorsque d varie? (Je n'arrive pas à commencer l'exercice)

    2. Lorsque d pivote autour de A, on conjecture que M et N existent toujours. Prouvons-le.

    Pour trouver les points d'intersection des deux courbes C1C_1C1 Et et C2C_2C2 d'équations y=f(x) et y=g(x), on raisonne en général de la façon suivante: dire que M, de coordonnées (α;β), appartient a l'intersection de CfC_fCf et CgC_gCg équivaut à dire que β=f(α) et β=g(α).
    Donc α est solution de l'équation f(x)=g(x), dite "équation aux abscisses"

    Démontrez que l'équation aux abscisses est x²-mx-1=0
    Pourquoi cette équation a-t-elle toujours deux racines distinctes x1x_1x1 et x2x_2x2 ?

    1. Si on note, par exemple, x1x_1x1 l'abscisse de M et x2x_2x2 celle de N, on sait trouver, en fonction de x1x_1x1 et x2x_2x2, les coordonnées (X1(X_1(X1;Y1Y_1Y1) du point I milieu de [MN]. Il est alors inutile de calculer x1x_1x1 et x2x_2x2.

    a) Vérifiez que XXX_1=x=x=x_1+x2+x_2+x2/2 et YYY_1=m/2(x=m/2(x=m/2(x_1+x2+x_2+x2)+1

    b) Déduisez-en, en fonction de m, les coordonnées du point I.

    1. Pour trouver le lieu (L) de I, on essaie d'abord de trouver une relation entre X1X_1X1 et Y1Y_1Y1.

    a) Prouvez que I appartient à la parabole (C) d'équation y=2x²+1.

    b) Réciproquement, il reste désormais à répondre à la question suivant: "Le point I décrit-il toute la courbe (C)"
    Lorsque m décrit mathbbRmathbb{R}mathbbR , prouvez que X1X_1X1 décrit mathbbRmathbb{R}mathbbR et déduisez-en que I décrit toute la courbe (C).


  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    Trace la parabole et place le point A, puis trace une droite qui coupe la parabole en deux points M et N.
    Tu places le point I.

    Puis tu traces une autre droite et les points M, N et I correspondant.
    Puis une autre droite ...

    Analyse ensuite l'évolution du point I.


  • C

    D'accord, Merci!


  • C

    Que faut-il faire ensuite ?


  • N
    Modérateurs

    Tu as conjecturé sur la courbe définie par le point I ?


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