Dérivés et Limites

Bonjour à tous!
J'ai un problème avec un exercice, et j'aurais besoin de votre aide pour m'éclaircir un peu.. Voici l'énoncé:

Soit λ un nombre réel. On définit la fonction f sur |R par f(x) = (x+λ)/(x²+1)

Montrer que cette fonction est dérivable et calculer sa dérivée.
2)a) Montrer que f' s'annule en 2 points a et b (où a < b). Etudier le signe de f'.
b) Montrer que f(a)=1/2a et que f(b)=1/2b.
Dresser le tableau de variation de f.
4)a) On appelle mλ le minimum de la fonction et Mλ son maximum. Exprimer mλ et Mλ en fonction de λ.
b) On peut considérer mλ et Mλ comme des fonctions de λ. Quelles sont leurs limites lorsque λ devient très grand ?

L'exercice ne me semble pas si compliqué que ça, mais c'est le λ qui me pose problème!
Mes réponses:

Etant donné que λ est un nombre réel, et qu'on sait que f'(x) = (u'v - uv') / v², on trouve que f(x) = [1(x²+1) - (x+λ)x²]/(x²+1)² soit f(x) = (x²+1-2x²+2λx)/v² et ainsi que f(x) = (-x²+2λx)+1)/v²
2)a) Pour trouver ces deux points a et b, on calcul le discriminant grâce à la formule ∆ = b²-4ac ce qui donne ∆ = (2)² - 4*(-1)*1 = 8 et que √∆ = 2√2 et ensuite on remplace dans les formules x(a) = (-b + √∆)/2a et x(b) = (-b - √∆)/2a. Ce qui nous donne (-2+2√2)/-2 et (-2-2√2)/-2 (On ne pourrait pas simplifier par -2 par hasard ?!) Ensuite pour l'étude du signe de f', on dit simplement que le dénominateur est toujours positif, donc on étudie le signe du polynôme. Et comme f'<0 pour -2√2<x<2√2, alors on fais le table de signe de f'(x) ?
b) Là, je n'en ai aucunes idées...
Ceci n'est pas compliqué!
4)a) et b), je n'en ai aucunes idées non plus...

Merci d'avance & bonne soirée!