spé maths ; divisibilité

Bonjour,
J'ai un exercice de spé maths à faire concernant la divisibilité et j'avoue avoir du mal à la "résoudre".
Voici l'enonce : Le but du problème est de déterminer tous les entiers naturels n vérifiant la propriété p : "n² + 11 est divisible par n + 11 ".
1)Tout d' abord, on ns demandait de" trouver les entiers naturels n inférieurs à 121 verifiant la propriété, à l'aide d 'excel ou de la calculatrice."
J'ai donc trouver que la propriété était vérifiée pour n = 1 , n=22 , n=33, n=55 et n=121.
2) Ensuite, on me demande de "calculer "a" le reste de la division euclidienne de n² + 11 par n + 11 , pour tout entier naturel n."
Je l'ai fait grace à excel pour les nombres allant de 1 à 140, et je m'apercois qu'à partir de n=122, le reste est de 132. Je ne sais pas si je dois le rédiger, et si oui, comment?
3)De plus, on me demande ensuite de "démontrer que tout n verifiant la propriété p est inférieur ou égal à 121.
Je n'ai absolument aucune idée pour cette partie, et je dois le rendre dans 2 jours. je voudrai donc savoir si quelqu'un a des idées et pourrait me mettre sur une piste.
4) Pour conclure, je dois donner l'ensemble des entiers naturels vérifiant la propriété P.
Mais se sont les memes que dans la première question non? et je ne sais pas non plus comment rédiger, car j'avais trouvé les différents résultats grâce a excel.

Merci d'avance.
Isoo

Bonsoir,

Cherche x et y tel que n² + 11 = (n+11)(n+x) + y

Pour la conclusion, utilises les résultats des questions 2 et 3).

merci, mais comment dois je faire pour calculer "a" le reste de la division de n²+11 par n+11 pour tout entier naturel? On ne peut pas pas trouver un nombre fixe pour a sachant que n change, si?
et à quoi correspondent x et y ?
merci encore

Bonjour,
On peut écrire plein d'égalités entre n²+11 et n+11
Ainsi, vérifie que n²+11 = (n+11)(n-11) + 132

Mais pour qu'une telle égalité soit celle d'une division euclidienne, il faut que 132 < n+11 ( reste inférieur au diviseur )
Ce qui exige n > 121.
Tu as ainsi la réponse à ta question 3, et en partie à ta question 2.
Pour la question 1, n'oublie pas les solution n = 0 et n=11.

merci,
mais il faut que je montre que tout n vérifiant la propriété est inférieur à<121 ou égal à 121. Le reste n'est donc pas égal à 132, mais vari en fonction de n, et je reste bloquée.
Merci d'avance

j' ai réussi à trouver que le reste a=11(1-q) + n(n-q).
Mais comment montrer que tout n vérifiant la propriété p est inférieur ou égal à 121?
merci encore

Pour n > 121, le reste est 132 et pas 0 , donc aucun entier n supérieur à 121 ne vérifie la propriété p.
Donc, si un entier n vérifie p, il est forcément inférieur ou égal à 121.
Mais le quotient sera alors supérieur à n-11 ( obtenu quand n > 121 ).
Le quotient est donc de la forme n-x où x est un entier positif inférieur à 11.
C'est pourquoi Noemi t'a proposé de poser n²+11 = (n+11)(n-x) + a
où x est comme j'ai dit et où a ( qu'elle note y ) est le reste.
Tu peux donc calculer a en fonction de n et de x.
Mais x dépend aussi de n : il faudra donc utiliser aussi le fait que le reste doit être inférieur au diviseur.

merci beaucoup. Donc je dois utiliser le fait que le reste est inférieur au quotient pour répondre à la question 3?

Non : la question 2.
Pour la 3, c'est fait ci-dessus :
Citation
Pour n > 121, le reste est 132 et pas 0 , donc aucun entier n supérieur à 121 ne vérifie la propriété p.
Donc, si un entier n vérifie p, il est forcément inférieur ou égal à 121

oui mais comment peut on prouver que pour n>121, on a a=132. C'est ca que je n'arrive pas à montrer.
Je suis désolée, je suis sur que la réponse est sous mes yeux...
merci infiniment

Plus haut :
Citation
On peut écrire plein d'égalités entre n²+11 et n+11
Ainsi, vérifie que n²+11 = (n+11)(n-11) + 132
Mais pour qu'une telle égalité soit celle d'une division euclidienne, il faut que 132 < n+11 ( reste inférieur au diviseur )
Ce qui exige n > 121.