exercice nombres complexes

bonjour
je rencontre des difficultés avec un exercice sur les nombres complexes

On me donne:
Soit z un nombre complexe différent de -3i.
On définit une application f qui à un point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'= (z-i+2)/(3-iz) ; on note A le point d'affixe -3i.

a) Quel est le complexe conjugué de 3-iz?

Je pense avoir réussi cette question, je trouve que le conjugué de (3-iz)= 3+ ix+y

b) Écrire alors z' comme le quotient d'un nombre complexe par un nombre réel.

Alors là, ça se gâte...
J'ai essayé de transformer z' en multipliant (3-iz) par son conjugué, sachant que z multiplié par son conjugué est égal à "module de z au carré". J'arrive donc finalement à une fraction avec un module au carré au dénominateur, mais je suis bloquée car il me reste toujours soit un i soit un z, donc le dénominateur n'est pas réel...

J'ai aussi tenté de remplacer les z par x+iy, sans plus de résultat.
bref je tourne en rond, donc si vous avez une petite piste à me donner...

j'ai ensuite en question 2: Déterminer l'ensemble des points M dont l'image par f est un point de l'axe des abscisses
et en question 3: Déterminer l'ensemble des points M dont l'image par f est un point de l'axe des ordonnées

J'ai une petite idée de comment je vais le faire, mais étant bloquée à la question 1b...
je pense que pour la question 2, je dois avoir Img (z)=0
et pour la question 3, Re (z)=0

merci d'avance pour votre aide

Bonsoir,

Indique tes calculs.
C'est la méthode, tu dois multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Merci pour ta réponse
donc j'ai à nouveau refais l'exercice, et je pense être arrivée à un résultat.
pour la question 2, j'ai fait:

z'=(z-i+2)/(3-iz)
= (x+iy-i+2)(3+ix+y)/(3-ix+y)(3+ix+y)
ce qui me donne après développement:
z'= (4x+6+2y+i(x²+y²+2y+2x-3))/(9+6y+x²+y²)

Cette fois, j'arrive bien à un dénominateur réel, donc je pense que c'est bon!

Pour la question 2 j'ai dit que
Img (z') doit être égal à 0
donc x²+y²+2y+2x-3=0
mais à partir de là, je ne suis plus sûre
(x+1)² +(y+1)² -1-1-3=0
(x+1)² +(y+1)² = 5

je trouve donc comme ensemble des points M un cercle de centre (-1;-1) et de rayon √5...

Et pour la question 3:
Re (z')=0
4x+6+2y=0
2y=-4x-6
y=-2x-3

L'ensemble des points M serait donc une droite d'équation y=-2x-3

C'est correct.

Super alors! merci bcp!

j'ai un autre soucis aujourd'hui, j'ai un nouvel exercice à faire

-D'abord un vrai ou faux:
Le nombre $1+i)^{256}$ est un nombre réel
Justifier en donnant une démonstration ou un contre exemple.

Après, on me donne
z=((√3)/2)-i(1/2)
Et je doit déterminer le module de $z^{2713}$ .

Pour ces questions, je ne vois vraiment pas comment faire avec les puissances... Est-ce que c'est le même principe pour les 2?

Bonjour,
Quel est le module et l'argument de 1+i ?

le module est donné par √(a² + b²)

Pour 1 + i se sera donc √(1² + 1²) = √2

Et l'argument ?

bonjour
module de 1+i= √(1²+1²)

et argument de 1+i euh... je sais pas trop, on a pas fait grand chose sur les arguments, j'ai juste écrit que "teta est un argument de z" et que "teta"=("vecteur u";"vecteur OM")
mais je sais pas si c'est censé m'aider..

Fais un dessin : tout s'éclairera.

l'argument se calcule comme ceci normalement :

cos θ = a / module
sin θ = b / module

donc dans ton cas
cos θ = 1 / √2 = √2 / 2
et sin θ = 1 / √2 = √2 / 2

et normalement tu doit connaitre l'angle qui a pour cos et sin ces résultats !

ok j'essaie merci

$fichier math$
Tu le vois l'argument ?

même avec le dessin, je ne vois pas comment trouver l'argument =(

et pour les formules de Sigmia, on ne les a pas encore vues en cours, donc je ne sais pas si je peux les utiliser, ou s'il y a une autre méthode

ah oui d'accord, ça fait un angle de 45° donc "pi"/4?

Regarde mon précédent message, il a dû se croiser avec le tien.

Oui.
On peut donc écrire 1+i sous la forme : √2. $e^{iπ/4}$ .
Qu'obtiens-tu quand tu élèves cela à la puissance 256 ?

olala on a pas encore vu ça en cours

Bon, je pose la question autrement.
Qu'advient-il au module d'un nombre complexe quand on l'élève à la puissance n ?
Et qu'advient-il à l'argument ?

Ce n'est qu'un cas particulier de la multiplication : et ça , tu l'as dans ton cours.
|z.z'| = ??
donc | $z^n$ | = ??

Et : arg(z.z') = ?
donc $arg(z^n$ ) = ?

|z.z'|=|z|x|z'|
| $z^n$ |=|z|x n?

|z.z'|=|z|x|z'| : oui.
Mais | $z^n$ |=|z|x n? : Non.
Prend un exemple : |z²| = |z|.|z| = ?? pas |z|×2 , mais ??

|z²| = |z|.|z| = |z|² ?

Oui, et de façon générale : | $z^n$ | = |z| $^n$
Et pour les arguments ?
Et : arg(z.z') = ?
donc $arg(z^n$ ) = ?

donc pour la 2eme partie de l'exo, ça me donnerait
| $z^{2713}$ |=|z| $^{2713}$
√((√3/2)²+(-1/2)²) = √(3/4+1/4)=1

pour les arguments:
arg(z.z')= arg(z).arg(z')
$a r g (z$ ^n $arg(z))^n$ ?

Citation
donc pour la 2eme partie de l'exo, ça me donnerait
| $z^{2713}$ |=|z| $^{2713}$ Oui.
Citation
√((√3/2)²+(-1/2)²) = √(3/4+1/4)=1Oui, mais ce résultat représente quoi ?

Citation
pour les arguments:
arg(z.z')= arg(z).arg(z')
$a r g (z$ ^n $arg(z))^n$ ?Non, pas du tout. Ce n'est pas la même chose que pour les modules.
C'est du cours : regarde sur ton livre ou ton cahier.