Sommes sh et ch (PCSI)


  • M

    Bonjour,

    Il me faut calculer les sommes :

    Cn(x) = Somme des ch(kx) pour k allant de 0 à n

    Sn(x) = Somme des sh(kx) pour k allant de 0 à n

    Je n'ai rien fait, je ne vois pas du tout du tout comment m'y prendre 😕

    Merci pour votre aide


  • kanial
    Modérateurs

    Salut magnum13,

    Quelle est la définition de ch, celle de sh ? Essaie d'écrire les sommes différemment avec ces définitions !


  • M

    kanial
    Salut magnum13,

    Quelle est la définition de ch, celle de sh ? Essaie d'écrire les sommes différemment avec ces définitions !

    Cn(x) = 1/2 Somme pour k de 0 à n (e(kx) + e(-kx))

    Sn(x) = 1/2 Somme pour k de 0 à n (e(kx) - e(-kx))

    C'est ça ? Et après ?


  • kanial
    Modérateurs

    Ok, après tu as une somme de k=0 à n d'une somme... peut-être pourrais-tu encore l'écrire différemment...


  • M

    Si je fais ça ??

    Somme e(kx) = somme e(x)^k = (1 - e(x)^(k+1)) / (1 - e(x))


  • kanial
    Modérateurs

    Voilà ! C'est ça l'idée ! Sauf que là tu n'as qu'un seul morceau de ta somme et que la somme va de 0 à n, k est une variable muette... Je te laisse faire le calcul de toute la somme ! Et pour les deux...


  • M

    ekx=(ex)ke^{kx} = (e^{x})^{k}ekx=(ex)k

    ∑k=0n(ex)k=1−(ex)(n+1)1−ex\sum_{k=0}^{n}({e^{x})^{k}} = {\frac{1-(e^{x})^{(n+1)}}{1-e^{x}}}k=0n(ex)k=1ex1(ex)(n+1)

    e−kx=(e−x)ke^{-kx} = (e^{-x})^{k}ekx=(ex)k

    ∑k=0n(e−x)k=∑k=0n(1ex)k=1−(1ex)(n+1)1−1ex\sum_{k=0}^{n}({e^{-x})^{k}} = \sum_{k=0}^{n}({\frac{1}{e^{x}})^{k}} = \frac{1-(\frac{1}{e^{x}})^{(n+1)}}{1-\frac{1}{e^{x}}}k=0n(ex)k=k=0n(ex1)k=1ex11(ex1)(n+1)

    ?????


  • kanial
    Modérateurs

    Oui tout ça est juste, et :

    ∑k=0n(ekx+e−kx)=∑k=0nekx+∑k=0ne−kx\sum_{k=0}^{n}{(e^{kx}+e^{-kx})}=\sum_{k=0}^{n}{e^{kx}}+\sum_{k=0}^{n}{e^{-kx}}k=0n(ekx+ekx)=k=0nekx+k=0nekx

    (c'est une addition, tu peux regrouper les termes comme cela t'arrange...)
    Cela devrait te permettre de terminer !


  • M

    kanial
    Oui tout ça est juste, et :

    ∑k=0n(ekx+e−kx)=∑k=0nekx+∑k=0ne−kx\sum_{k=0}^{n}{(e^{kx}+e^{-kx})}=\sum_{k=0}^{n}{e^{kx}}+\sum_{k=0}^{n}{e^{-kx}}k=0n(ekx+ekx)=k=0nekx+k=0nekx

    (c'est une addition, tu peux regrouper les termes comme cela t'arrange...)
    Cela devrait te permettre de terminer !

    Et bien, pour ch, on ajoute ces deux sommes et pour sh on soustrait ces deux deux sommes et pour ch et sh on multiplie par 1/2. Mais ça ne se simplifie pas plus si ?


  • kanial
    Modérateurs

    Ce serait bien de mettre au même dénominateur pour voir ce que ça donne, il y a moyen de faire un peu plus simple quand même je pense...


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