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exercice d'algèbre linéaire |
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Envoyé: 04.09.2010, 21:36
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enregistré depuis: sept.. 2010
Messages: 2
Status: hors ligne
dernière visite: 04.09.10
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Bonsoir, 
je bloque à la question 5) de cet exercice.
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur IR, u un endomorphisme de E, a et b deux nombres réels distincts.
On note :
e l'application identique de E, v l'endomorphisme u - ae, w l'endomorphisme u - be, M1 le noyau de v, M2 le noyau de vov, N1 le noyau de w.
Partie I
On suppose que vovow = 0, que vow  0, et que M1 et N1 ne sont pas réduits à {0}.
1) Démontrer que M1 M2 et que M1 M2
2) Démontrer que E = N1  M2 et préciser les dimensions de M1, M2, N1.
3) Soit  la restriction de v à M2. Que dire de o ?
4) Déterminer le noyau et l'image de .
5) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est  "\( \array{a&1&0\\0&a&0\\0&0&b}\)")
j'ai raisonné de la manière suivante,
soit la base(e1,e2,e3)
e1 M1, e2 M2, et e3 N1
e1M1 <=> v(e1)=0 doù u(e1)=ae1
e3 N1 <=> w(e3)=0 d'où u(e3)=be3
donc j'ai la première et la troisième colonne.
au vu de la deuxieme colonne
faut que je trouve que u(e2)= e1 + a
e2 M2 <=> vov(e2)=0
v(u(e2) - a  ))=0
et je ne sais plus que faire...
Merci d'avance
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Envoyé: 05.09.2010, 01:47
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Modérateur
enregistré depuis: avril. 2006
Messages: 1710
Status: hors ligne
dernière visite: 05.12.11
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Salut doraemon,
il faut montrer l'existence, donc trouver une base suffit, je pense que tu pourrais dire : je prends e3 dans N1, e2 dans M2 et e1=v(e2), il te sera aisé de démontrer que e1∈M1 et donc si tu as bien montrer que N1, M1 et M2 sont supplémentaires, tu auras trouvé une base qui vérifie ce que l'on cherche !
modifié par : kanial, 05 Sep 2010 - 01:48
L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]
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