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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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problème de polygones réguliers

  - catégorie non trouvée dans : 1ère
Envoyé: 29.10.2005, 14:53



enregistré depuis: oct.. 2005
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bonjour tout le monde, je viens de découvrir le forum et il m'a l'ai vraiment trés bien je trouve super que de gens passent leur temps libre à aider des gens comme moi qui ont des difficultés en math et justement j'en ai une trés dure surlaquelle je me fend le crane depuis une bonne semaine

Soit A1,A2,....An un polygone régulier inscrit dans un cercle de centre O de rayon 1, si n=3 alors A1A2A3 est un triangle equilatérale si n=4 un carré si n=5 un pentagone régulier etc...

a)on suppose n pair, etablir que O est centre de symétrie du polygone en deduire que vect u=vect OA1+vect OA2+......+vect OAn = vect 0

b) on suppose n impair montrer qu'alors tout diamètre passant par un des sommets du polygone est axe de symetrie du polygone.
montrer que le vecteur u =vect OA1+vect OA2+.....+vect OAn est colinéaire à vect OA1 comme à vect OA2 .... jusqu'à vect OAn en déduire la valeur de vect u

conclure par une phrase l'etude precedente

2)Soit ABCDE un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O
a) quel est l'angle au centre d'où l'on voit un coté du pentagone

b)a l'aide des resultats de la premiere partie etablir que

2cos²4pi/5+2cos2pi/5+1=0 et donc que cos 2pi/5 est solutions de 4X²+2X-1
en deduire la vrais valeur de cos2pi/5

voilà ensuite il y a la construction du pentagone mais je ense pouvoir y arriver!

bon pour tout vous dire je ne suis pas arrivé à grand chose j'arrive à peu prés au resultats au premiere mais ce n'est pas de vraie demonstration donc si vous puviez m'aider ça serait vraiment cool!
merci à tous
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Envoyé: 29.10.2005, 22:59

Cosmos


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bonjour tout le monde, moi non plus j'arrive pa à cet exercice est ce que vous pourriez essayer de le faire??
merci
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Envoyé: 30.10.2005, 08:18

Cosmos
Zorro

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Il y a n triangles An-1OAn et chaque angle An-1OAn vaut 2pi/n
si n est pair alors n/2 angles donneront un angle plat donc chaque Ai est diamétralement opposé à un Aj
Je pense que cela peut être une piste
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Envoyé: 30.10.2005, 09:34

Cosmos


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oui c'est à peut prés ce que j'avais fait j'ai dit que un polygone regulier se transformer en lui même par la rotation de centre O et d'anle 2pi/n et comme il y a n/2 angle
2pi/n multiplié par n/2 donne pi
donc on peut associer a chaque point un point diamétralement opposé ce qui serait facile ensuite de dire que vect u=vect 0
mais est ce vraiment une demonstration??
ensuite je bloque pour la b), j'ai remarqué que tout point passant par un sommet du polygone coupe le coté opposé en son milieu donc c'est la médiatrice mais ça non plus je ne sais pas le demontrer...et le pire c'est demontrer que le vecteur u est colinéaire à A1, A2 comme à An
ça je ne voit pas parce que le problème c'est qu'on demande aprés de dire que le vecteur u est egale au vecteur nul donc ca je n'ai rien trouvé!
voilà merci
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Envoyé: 30.10.2005, 11:08

Cosmos
Zorro

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Pour la colinéarité de uvect on doit pouvoir utiliser que chaque diamètre est la médiatrice du côté opposé au point de départ (si on arrive à le montrer)
Pour n=3 on aurait OA1 vect +OA2 vect = 2OI3vect avec I3 milieu de [A1 A2]
et (OI3 ) = (OA3 ) etc ....
Et en envisageant une récurence on doit y arriver ; mais c'est quand même un sujet de première !!!!
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Envoyé: 03.11.2005, 11:33

Cosmos


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c'est sur que pour ici la recurrence est dure à faire ( je n'y arrive pas ) et sinon j'ai aussi beaucoup de mal à montrer que lorsque n est impair chaque diamùetre passant par un somet du polygone est mediatrice du coté opposé est ce que quelqu'un aurait une autre idée?
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Envoyé: 03.11.2005, 19:20

Cosmos


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s'il vous plait aidez moi je n'y arrive pas j'ai chercher pendant trés longtemps j'ai avancé pour la a) j'ai reussi à tout demontrer d'une facon qui me semble correcte!mais la b) je ne trouve vraiment pas surtout pour es histoire de colinéarité!s'il vous plait aidez moi donnez moi des idées c'est trés urgent!
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Envoyé: 03.11.2005, 21:39

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Thierry

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Bon alors à mon tour,
Pour le b) une récurrence ? Il me semble possible de démonter que pour toute droite (OAi) est bissectrice des angles Ai-1OAi+1 Ai-2OAi+2 etc. Il en découlera qu'elle est donc médiatrice de [Ai-1OAi+1] etc. Effectivement on peut faire un raisonnement par récurrence en bonne et due forme mais cela ne me parait pas indispensable (c'est sûr que çà fera plus sérieux).

A suivre ...


Thierry
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Envoyé: 03.11.2005, 21:43

Cosmos


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d'accord ok je vais etudier cette piste








:p pour les oiseaux



modifié par : titor, 03 Nov 2005 @ 08:49
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Envoyé: 03.11.2005, 21:55

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Salut.

La somme de deux vecteurs symétriques par rapport à une droite est égale à un vecteur colinéaire à cette droite non?

Donc en utilisant la régularité de la figure et la médiatrice, tu dois pouvoir trouver le moyen de t'en sortir(je rappele qu'il fallait juste avant démontrer que la médiatrice était axe de symétrie).

Remarque que le conseil sur la bissectrice te l'indiquais déjà.

@+
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Envoyé: 03.11.2005, 21:59

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Thierry

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Pour la somme des vecteurs :
Quand n est pair, on peut les regrouper 2 à 2 et ils s'annulent 2 à 2 par symétrie.
Quand n est impair, [OA2] et [OAn] sont les 2 côtés consécutifs d'un losange dont la somme est la diagonale, colinéaire à OA1vect . Idem pour les vecteurs suivants.
Ce qui est pénible dans cet exercice c'est beaucoup de blabla et de rédaction et peu de bonnes vieilles propriétés qui s'appliquent. Là aussi une récurrence est possible mais je ne suis pas sûr que çà vaille vraiment le coup. C'est lourd. Je pencherais plutôt pour une rédaction du style : "de la même manière on démontrerait que ..."

A suivre ...



modifié par : Thierry, 06 Nov 2005 @ 08:29


Thierry
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Envoyé: 03.11.2005, 22:05

Cosmos
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Ne pas oublier que ce sujet a été posé en début de 1ère S et non en prépa !!!!

Comment inciter benji007 à nous faire part de la correction de son prof quand il l'aura ?
Top 
Envoyé: 03.11.2005, 22:05

Cosmos


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ok merci beaucoup a thierry et jeet chris!vous m'avez à coup sur donné un serieux coup de main!
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Envoyé: 03.11.2005, 22:05

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Salut.

Lol! Ca n'était pas une question interrogative, mais rhétorique! ^^

Je connais très bien le résultat, depuis le temps qu'on nous le ressasse en électromagnétisme en physique... icon_lol

Bref. Je suis d'accord que la récurrence c'est pas marrant du tout. Et mon intervention allait bien bien sûr dans ton sens Thierry.

@+
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Envoyé: 03.11.2005, 22:06

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Thierry

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A oui j'oubliais : donc le vecteur somme est colinéaire à tout un tas de vecteurs non colinéaires entre eux donc il est nul. Tu trouveras bien une phrase de conclusion et je pense que l'application à n=5 devrait aller.
Ben sinon tu sais où demander icon_wink


Thierry
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Envoyé: 03.11.2005, 22:07

Cosmos


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pour le reste j'ai reussi à tout faire merci beaucoup
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Envoyé: 03.11.2005, 22:12

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Thierry

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dernière visite: 20.07.16
Zorro

Comment inciter benji007 à nous faire part de la correction de son prof quand il l'aura ?
benji007 tu pourras nous donner la correction quand tu l'auras ?
Non j'ai eu meilleure idée : titor tu pourras nous donner la correction quand tu l'auras et que tu n'auras plus du tout la grippe ? icon_lol


Thierry
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Envoyé: 03.11.2005, 22:15

Cosmos


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dernière visite: 29.04.07
oui promis je vous la fait passer!allez moi je vais faire la suite car c'est pour demain!
merci encore à tous
et c'est bizare que benji007 ne soit pas revenu arf tanpis pour lui!
Top 
Envoyé: 06.11.2005, 01:04

Voie lactée
Juliedeparis

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dernière visite: 06.11.06
Bonsoir ! j'ai pas tres bien compris pour n est impair ?
et Aussi , pour le colinearité des vecteurs ?

Car vectu = 0 ( vect u = somme des vecteurs de l'origine 0 au points du polygone : 0a1 + 0a2 + 0a3 + 0a4 + 0a5 = 0 )
et vectOA = 1 donc ,
Dire que 2 vecteurs sont colineaires , equivaut a dire qu'il y a un reél K tel que vectu = kvectOA , donc k = 0
car vectu = 0

Est - ce juste ( si non expliquez moi svp ) et aussi expliquez moi pour n est impair car , je n'ai pas trop compris vos expliquations ( j'ai du mal a comprendre , excusez moi )

Merci d'avance !

edit/ Et aussi ça , je ne comprend pas :
Citation
b)a l'aide des resultats de la premiere partie etablir que
2cos²4/5+2cos2/5+1=0




modifié par : Juliedeparis, 06 Nov 2005 @ 01:08
Top 
Envoyé: 06.11.2005, 08:28

Webmaster
Thierry

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dernière visite: 20.07.16
Salut Julie (de Paris),
Vous êtes tous dans la même classe tous ?

Bon, tu dois savoir que la somme de vecteurs de même origine est la diagonale d'un parallélogramme, OK ? Je me suis contenté de donner l'idée. Je te laisse faire une bonne rédaction disant que [OA2] et [OAn] sont les côtés d'un triangle isocèle dont (OA1) est la bissectrice, donc aussi la médiatrice, donc la diagonale d'un losange, etc. (Je réédite le post de 21:59 qui comportait une erreur de frappe).

Pour l'égalité trigonométrique, je pense qu'il suffit de projeter les vecteurs dont la somme est nulle sur les axes d'un repère orthonormal dans le cercle. Puis il faudra se débrouiller avec les relations trogonométriques notamment cos2a (qui fait apparaître les carrés : mais j'ai l'impression qu'il y a une faute de frappe dans l'équation, titor va peut-être passer nous le confirmer).

Bonne rédaction icon_wink


Thierry
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Envoyé: 06.11.2005, 08:30

Webmaster
Thierry

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dernière visite: 20.07.16
J'ajoute une précision. Ce que tu as démontré pour [OA2] et [OAn], te le démontrerais de-même pour [OA3] et [OAn-1], etc.


Thierry
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Envoyé: 06.11.2005, 14:20

Voie lactée
Juliedeparis

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dernière visite: 06.11.06
Oki merci Thierry , je ne suis pas dans la classe benj007 .
Donc je vais essayer de le faire pour n impair.
L'egaliter c'est :
Citation
2(cos4pi)/5 + 2(cos2pi/5 + 1 = 0

si vous pouvez m"aider sa serai gentil .
Merci !


Top 
Envoyé: 06.11.2005, 15:40

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Thierry

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dernière visite: 20.07.16
Bouh ... tes parenthèses ....
Comme je te l'ai dit, projette les 5 vecteurs sur les axes d'un repère (O,ivect,jvect). Je pense que tu arriveras à choisir le bon repère, il y en a plusieurs possibles.
Alors tu obtiens quelque chose comme:
Somme des vecteurs=(Somme des x)ivect+(Somme des y)jvect
Les x et les y se calculent avec un peu de trigonométrie.
Somme des vecteurs = Ovect donc Somme des x=O et Somme des y=0.
L'une de ces 2 égalités te donne l'égalité demandée.
A+


Thierry
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Envoyé: 06.11.2005, 15:46

Voie lactée
Juliedeparis

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dernière visite: 06.11.06
oki merci je vais y reflechir :)
+
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