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Envoyé: 24.05.2010, 18:44
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Constellation
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bonjour à tous, voilà j'ai un dm de maths j'ai réussi à tout faire sauf un exercice qui me pose problème car tout découle de la première question. donc si vous pouviez m'aider à débloquer cette première question merci beaucoup .
voici l'énoncé de l'exercice :
1) Démontrer que pour tout réel u > -1 , ln(1+u)<=u
2) En déduire que pour tout entier n>=1 , ln(1 + 1/n )<= 1/n puis que
(1 + 1/n)^n<= e [1]
3) De la même façon montrez que pour tout entier n >= 2 , (1 - 1/n)^-n >= e [2]
4) Démontrer à partir de [2] que pour tout entier n>= 1 , e<=((n+1)/n)^(n+1) [3]
5) Obtenir à l'aide de [1] et [3] que pour tout entier n>=1 ,
((n+1)/n)^n<=e<=((n+1)/n)^(n+1)
6) Soit la suite (Vn) définie pour tout entier n>=1 par Vn = ((n+1)/n)^n
Démontrer que pour tout entier n>=1 , 0<=e - Vn<=e/n
En déduire que la suite (Vn) est convergente, et quelle est sa limite ?
voilà merci par avance pour votre aide .
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Envoyé: 24.05.2010, 19:08
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Constellation
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Salut,
souvent quand tu as une inégalité à montrer tu fais ainsi:
-tu mets tout d'un côté (façon de parler), pour que tu ais quelque chose de la forme A(u)≤0 ou A(u)≥0 (peu importe)
-Ensuite tu étudies cette fonction A.
(Dérive, signe de la dérivée, limites éventuelles de A, tableau de variation)
-et après tu auras ta réponse en "lisant" ton tableau de variation
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Envoyé: 26.05.2010, 20:22
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Constellation
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Merci pour ton aide
On a donc f(x)=ln(1+u)-u
donc la dérivée est f'(x)=-u/(1+u) ce qui est négatif donc f est négative donc on a bien ln(u+1)
Par contre je voulais savoir si pour la question 3 il fallait utiliser la même méthode?
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Envoyé: 26.05.2010, 20:45
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Constellation
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fais attention,
si f' est négative tu ne peux pas en conclure que f est négative mais tu en conclue que f décroissante.
Ici f' postive sur -1;0
et négative sur R+
donc f croissante sur -1,0
puis décroissante sur R+
et f(0)=0
donc f négative
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Envoyé: 26.05.2010, 20:47
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Constellation
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et en toute rigueur il faut préciser que f continue sur -1;+inf
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Envoyé: 26.05.2010, 20:49
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Constellation
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ensuite 3 est comme 2.
tu te serres de l'inégalité de 1.
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Envoyé: 26.05.2010, 20:50
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Constellation
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Exact, merci :)
Pour la question 3), on utilise la même méthode?
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Envoyé: 26.05.2010, 20:54
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Constellation
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Pour 3 tu fais comme avec 2, tu te sers de l'inégalité 1.
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Envoyé: 26.05.2010, 20:55
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Constellation
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Ok je vais essayer
modifié par : Prissou, 26 Mai 2010 - 20:56
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Envoyé: 26.05.2010, 21:02
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Constellation
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Je trouve:
On pose u= -1/n
On a alors ln(1-1/n) < -1/n
ln(1-1/n)-n > (-1/n)-n
eln(1-1/n)-n > e(-1/n)-n
(1-1/n)-n > e-(-n/n)
(1-1/n)-n > e
Est-ce juste?
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Envoyé: 26.05.2010, 21:34
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Constellation
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oui c'est juste :)
n'oublies pas de préciser que pour tout n ≥2, -1/n≥-1/2>-1
et que tu peux donc utiliser l'inégalité valable pour tout u>-1
C'est un détail de rédaction mais très fortement apprécié
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Envoyé: 26.05.2010, 21:43
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Constellation
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D'accord j'essayerais de penser à tous ses détails lors du bac :)
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Envoyé: 26.05.2010, 21:48
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Constellation
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Par contre pour la 3)b) je ne comprends pas trop
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Envoyé: 26.05.2010, 22:03
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Constellation
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je ne vois pas la 3b, je suppose que c'est la 4.
tu parts de [2] tu met sous le même dénominateur 1-1/n et ensuite tu fais un changement d'indice, tu poses n'=n-1.
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