Exercice sur les suites

RUBRIQUES

Cours & Math-fiches

1ère (06 Sep 2009)
3ème (03 Jan 2011)
4ème (29 Jn 2007)
LaTeX (02 Sep 2007)
Seconde (24 Oct 2010)
Supérieur (29 Oct 2006)
Terminale (28 Mai 2009)
Toutes classes (31 Mar 2009)

Partenaires

Racine :: Le Math-Forum :: 1ère S :: Exercice sur les suites

Modéré par: Thierry, Jeet-chris, Zorro, kanial, mtschoon, Noemi

	Exercice sur les suites

peace	Envoyé: 30.04.2010, 10:14
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	Les suites c'est pas mon fort... Voici l'exercice, je suis perdue ! je n'ai malheuresement rien compris. un indice ! On considère la suite (u_n) définie sur par u₀=6 et la relation: u_n+1= (4u_n-1)/(u_n+2) 1. déterminer la fonction f telle que: u_n+1= f(u_n) et montrer que léquation f(x)= x a une solution α. 2. montrer que f est strictement croissante sur ]-2; +∞[. 3. placer u₀, u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, sur l'axe des abscisses du graphique joint en annexe, sur lequel est tracé la courbe représentative de f. Aucune justification n'est demandée, mains on laissera les traits de construction. 4. donner une conjecture sur la convergence de la suite ( u_n). 5. on pose: pour tout n de : v_n= 1/( u_n-1) montrer que: pour tout n de : v_n+1= 1/3 + v_n 6. a) donner une expression de v_n en fonction de n. b) en déduire une expression de u_n en fonction de n. 7. démontrer que la suite (u_n) converge vers un nombre que l'on précisera. modifié par : peace, 02 Mai 2010 - 19:19


Noé	Envoyé: 30.04.2010, 13:11
Une étoile enregistré depuis: avril. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.10	Pas la moindre idée, même sur la question 1 ? Elle n'est pas difficile, tu as u_n+1= (4u_n-1)/(u_n+2), et tu veux trouver f telle que u_n+1=f(u_n). L'expression de f ne serait-elle pas déjà donnée dans l'énoncé ?

peace	Envoyé: 30.04.2010, 16:09
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	eh bien je ne comprends pas très bien... on doit remplacer u_n par u₀ ?

Noé	Envoyé: 30.04.2010, 19:07
Une étoile enregistré depuis: avril. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.10	Non, ce n'est pas ça. La suite u_n est définie par récurrence. Cela signifie qu'on la définit en donnant son premier terme, à savoir u₀=6, et une relation permettant, a partir d'un terme, de calculer le suivant, à savoir u_n+1=(4u_n-1)/(u_n+2). Cette relation est vraie pour tout entier naturel n. Pour connaître les termes de ta suite, tu va devoir calculer u₁ à partir de u₀ qui t'es donné, et de cette relation, puis calculer u₂ à partir de u₁, etc. Par exemple : u₁=(4u₀-1)/(u₀+2) =(46-1)/(6+2) =23/8. u₂=(4u₁-1)/(u₁+2) =(4(23/8)-1)/((23/8)+2) =84/39. etc...

peace	Envoyé: 30.04.2010, 22:25
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	Oui, mais je ne comprends pas comment on fait pour déterminer que u_n+1= f(u_n)... On doit faire la fonction associée ?? 2. Pour cela il faut trouver la dérivée et ensuite d'étudier son sens de variation, c'est ça ?, mais il me faut d'abord la fonction que je n'a pas... 3. Pour cette question, je pense que ces résultats sont les suivants: u₃= 99/2 u₄= 394/103 u₅= 491/200 4. la suite (u_n) est minorée par -2 ... ? pour les questions suivantes, je suis bloquée... modifié par : peace, 30 Avr 2010 - 22:26

Noé	Envoyé: 01.05.2010, 13:17
Une étoile enregistré depuis: avril. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.10	1) Pour trouver f, tu sais que u_n+1=f(u_n) et que u_n+1=(4u_n-1)/(u_n+2). Tu as donc f(u_n)=(4u_n-1)/(u_n+2). Donc f(x)=... 2) C'est ça. 3) Il ne s'agit pas de calculer numériquement les termes de la suite, mais de les placer graphiquement sans les calculer grâce à la courbe représentative de f. Il existe une méthode graphique pour faire ça, mais je te l'expliquerai plus tard, là je n'ai pas beaucoup de temps.

peace	Envoyé: 01.05.2010, 13:53
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	1. f(x)= (4x-1)/(x+2). 2. f'(x)= (3x-6)/(x+2)² 3x-6>0 ⇒ x> -6/3 ⇒ x>-2 (x+2)²>0 donc f(x) est strictement croissante sur ]-2; +∞[

Noé	Envoyé: 01.05.2010, 14:27
Une étoile enregistré depuis: avril. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.10	La dérivée est fausse. Si tu veux comprendre la méthode graphique pour représenter les termes d'une suite définie par récurrence, regarde ici : http://www.math...ours-93.html.

peace	Envoyé: 01.05.2010, 15:42
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	f'(x)= (3x+6)/(x+2)²

Noé	Envoyé: 01.05.2010, 21:13
Une étoile enregistré depuis: avril. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.10	Personnellement, je trouve f'(x)=9/(x+2)². Comment calcules-tu ta dérivée ?

peace	Envoyé: 02.05.2010, 00:05
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	et bien j'utilise la fomule u'v-uv'/v²

Noé	Envoyé: 02.05.2010, 16:45
Une étoile enregistré depuis: avril. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.10	Ici u(x)=4x-1, et v(x)=x+2. Donc u'(x)=4 et v'(x)=1. Donc (u/v)'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v(x)² =(4(x+2)-(4x-1)*1)/(x+2)² =9/(x+2)².

peace	Envoyé: 02.05.2010, 17:08
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	ah oui, je me suis trompée... 4. la suite (u_n) est minorée par -2. Merci pour le lien, j'ai compris la méthode modifié par : peace, 02 Mai 2010 - 17:22

Noé	Envoyé: 02.05.2010, 18:08
Une étoile enregistré depuis: avril. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.10	C'est vrai que la suite est minorée par -2, mais ce n'est pas ça qu'on te demande. On te demande une conjecture sur la convergence de u_n, c'est à dire sur l'existence et la valeur de sa limite en +∞. Ici, tu verras sur ton graphique que (u_n) semble converger vers 1, ce qui d'ailleurs, comme par hasard, correspond justement à l'unique solution de l'équation f(x)=x, que tu as trouvée à la question 1. Les questions suivantes visent à trouver l'expression de u_n en fonction de n, et ainsi de vérifier cette conjecture.

peace	Envoyé: 02.05.2010, 18:16
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	Pour donner une conjecture, c'est par lecture graphique ? par lecture graphique, On peut conjectuer que la limite de (u_n) est 4. modifié par : peace, 03 Mai 2010 - 17:38

peace	Envoyé: 03.05.2010, 18:45
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	j'ai essayé pour le 5 mais je suis bloquée, ou sinon j'ai eu une erreur de calcul que je n'arrive pas à trouver: v_n+1= 1/(u_n+1-1)= 1/[(4u_n-1)/(u_n+2)-1]= 1/[(4u_n-1)/(u_n+2)-(u_n+2)/(u_n)+2]= 1/[(3u_n-3)/(u_n+2)-(2u_n-3)/2]= 1/(u_n-3) et après cela je ne sais pas quoi faire.

peace	Envoyé: 03.05.2010, 21:44
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	mais alors si normalement il converge vers 1, sur mon graphique la fonction est majorée par 4 ...

peace	Envoyé: 04.05.2010, 00:07
Galaxie enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 171 Status: hors ligne dernière visite: 10.01.11	??

Noé	Envoyé: 05.05.2010, 00:02
Une étoile enregistré depuis: avril. 2010 Messages: 18 Status: hors ligne dernière visite: 05.05.10	Désolé pour mon absence pour hier et avant hier... Pour la question 5 l'idée est bonne. Le calcul est bon jusqu'à : v_n+1= 1/(u_n+1-1)= 1/[(4u_n-1)/(u_n+2)-1]= 1/[(4u_n-1)/(u_n+2)-(u_n+2)/(u_n)+2] c'est à dire (je réécris en Latex, c'est plus clair) : $v_{n+1}=\frac{1}{\frac{4u_n-1}{u_n+2}-\frac{u_n+2}{u_n+2}}$ . Par contre, après, c'est : $v_{n+1}=\frac{1}{\frac{3u_n-3}{u_n+2}}=\frac{u_n+2}{3u_n-3}=\frac{3}{3u_n-3}+\frac{u_n-1}{3u_n-3}=\frac{1}{u_n-1}+\frac{1}{3}=v_n+\frac{1}{3}$ . Pour la question 4, normalement par lecture graphique on devrait voir converger la suite vers 1. Il faut faire attention à ne pas confondre la suite et la fonction. La fonction correspond à la courbe pré-tracée sur ton graphique. Sur ]2, +∞[, elle est en effet majorée par 4, et elle tend vers 4 en +∞. La suite est aussi majorée par 4 dès son second terme (attention : u₀=6), mais ce n'est pas important. L'important est qu'elle est minorée par 1 et qu'elle converge vers cette valeur. Si tu construits, comme c'est expliqué sur le lien que je t'ai donné, les points dont les abscisses sont les premiers termes de la suite, tu verras qu'ils sont tous au dessus de 1 mais s'en rapprochent de plus en plus. C'est en remarquant ça que tu fais ta conjecture.