Suites, limite et DEMONSTRATIONS


  • L

    Bonjour, j'ai d'énormes problèmes avec les suites....

    1. La suite (Un) est définie par : u0=2u_0=2u0=2 et un+1=13un+2327u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}un+1=31un+2723 pour tout entier naturel n.

    B. démontrer que si la suite (un)(u_n)(un) est convergente, alors sa limite est l=2318l=\frac{23}{18}l=1823.

    C. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : un≥2318u_n \geq \frac{23}{18}un1823.

    Pour cette question, j'ai voulu essayer une démonstration par récurrence :

    Pour tout entier naturel n, un≥2318u_n \geq \frac{23}{18}un1823.

    INITIALISATION

    Pour n=0, on a u0=2≥2318u_0=2 \geq \frac{23}{18}u0=21823.
    Donc la propriété est vraie pour n=0.

    HEREDITE

    On suppose un entier naturel k tel que : benn..... Je ne sais pas.

    CONCLUSION

    La formule est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc pour tout n appartenant à N, un≥2318u_n \geq \frac{23}{18}un1823.

    D. Etudier la monotonie de la suite Un et donner sa limite.

    Je sais qu'il faut faire la différence entre un+1u_{n+1}un+1 et Un.

    un+1−un=13un+2327−(13un−1+2327)u_{n+1}-u_n= \frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27} - (\frac{1}{3}u_{n-1}+\frac{23}{27})un+1un=31un+2723(31un1+2723)
    <=>13un+2327−13un−1−2327\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27} - \frac{1}{3}u_{n-1}-\frac{23}{27}31un+272331un12723
    <=>13un−13un−1\frac{1}{3}u_n - \frac{1}{3}u_{n-1}31un31un1

    Après je ne sais plus quoi mettre.

    2.A. Soit n un entier naturel ≥\geq 1. Démontrer que $\bigsum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{10^k}=\frac{1}{90}(1-\frac{1}{10^n})$.

    B. La suite (Vn) est définie ar : v_n=1,2777...7 avec n décimale consécutive égales à 7.
    Ainsi v0=1,2v_0=1,2v0=1,2 ; v1=1,27v_1=1,27v1=1,27 ; v2=1,277v_2=1,277v2=1,277 ;
    En utilisant le 2A. démontrer que la limite de la suite (Vn) est un nombre rationnel r.

    3. Les suites (Un) et (Vn) sont-elles adjacentes ? Justifier.

    Pour les question 2A. B. C. je suis complètement perdue.

    Merci d'avance pour votre aide.


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    Pour démontrer l'hérédité :

    Soit k un entier naturel fixé tel que UkU_kUk≥23/18
    En partant de cette inégalité, tu en multiplies chaque membre par 1/3 puis tu ajoutes 23/27 de chaque côté. Tu arrives donc à Uk+1U_{k+1}Uk+1≥...


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