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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
Fin 

Dm produit scalaire dans le plan : droite d'Euler d'un triangle

- classé dans : Vecteurs & droites

Anonyme
Envoyé: 16.04.2010, 12:23
Utilisateur non enregistré Bonjour

Voici le dernier exercice de mon dm :

ABC est un triangle quelconque. O est le centre de son cercle circonscrit. H son orthocentre et G l'isobarycentre points A, B, C.
1) Faire une figure.
2) Démontrer que : \vec{OA} + \vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}
3) a) Soit A' le milieu de [BC], exprimer \vec{OA'} en fonction de \vec{OB} et \vec{OC}
b) Soit P le point tel que \vec{OP}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}, déduire de a) l'égalité : \vec{OP}.\vec{BC}=\vec{OA}+\vec{BC}
c) En déduire que (AP) est la hauteur issue de A du triangle ABC.
4) On admet que (BP) est la hauteur issue de B. Que représente le point P pour le triangle ABC ?
5) Déterminer une relation entre \vec{OH} et \vec{OG} et conclure.

Mes réponses :

2) J'utilise la formule \alpha .\vec{MA}+\beta .\vec{MB}+\sigma .\vec{MC}=(\alpha +\beta +\sigma )\vec{MG} et G est l'isobarycentre donc \alpha =\beta =\sigma =1 et \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=(1+1+1)\vec{OG}=3\vec{OG}
3) Voilà, à partir de là, je n'y arrive plus. J'ai jamais rien compris à tout ce qui est vecteur.

ALors si quelqu'un peut m'aider...
Merci d'avance.
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Envoyé: 20.04.2010, 18:14

Constellation
mdr_non

enregistré depuis: avril. 2010
Messages: 68

Status: hors ligne
dernière visite: 26.05.10
dessin faux ( H orthocentre = point de concurence de toute les hauteurs)
(O centre cercle circonscrit= point de concurence de toutes les médiatrices)
( G centre de gravité = point de concurence de toutes les médianes)

>> 2)

on introduit G bar des points A, B , C (sachant que dans l'énoncé on di que vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur nul )

on obtient (OG + GA ) + ( OG + GB ) + (OG +GC ) = 3 OG (puiske GA + GB + GC s'annule)

> 3-a)
A' est milieu de [BC] signifie que A' est bar de ( B;1) (C;1)
A'B + A'C= vecteur nul

on obtient OB + OC = ( OA'+ A'B) + (OA' + A'C) = 2 OA' (puiske A'B et A'C s'annule)

OB+OC= 2OA'

>> 3-b)

plus haut on a vu que 2 OA' = OB + OC

on fait donc OP = OA +OB + OC = OA + 2 OA'

on aplique (OA + 2 OA').BC = BC.OA + 2 OA'.BC

hors on sait que la droite qui passe par le mileur de BC (cad A') et par O est une mediatrice (c'est ce qui nous a permis de placer O = propriété du cercle circonscrit ) donc OA . 2 OA' = 0 (orthogonalité)

on a donc OP.BC= OA.BC

3-c)

OP.BC= OA.BC

OP.BC - OA.BC = 0
(OP - OA).BC =0 >>>>>>>>>>> OP - OA = OP + AO = AP
AP.BC=0

AP est orthogonal à BC , AP est donc une hauteur de ABC.

4) P est à la fois sur BP et AP qui sont deux hauteurs de ABC , P est donc le point de concurence des hauteurs ( =l'orthocentre, soit P est confondu à H)

5) OP = OA +OB+OC
j'ai dit tout a l'heure que H est confondu à P
donc on a OA + OB+OC= 3 OG
>>>> OP = OH = 3OG

OH et OG sont colinéaires, H est sur la droite OG , donc O, G, H sont alignés

fini

modifié par : mdr_non, 20 Avr 2010 - 19:21


mdr non !!!
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