DM Vecteurs

Bonsoir à tous, j'ai besoin d'aide je n'arrive pas à faire cet exercice de mon devoir maison. Avec des coordonnées dans un plan j'y arrive, mais là il n'y a pas de coordonnées. Voilà l'exercice :

On considère un triangle ABC.

On désigne pat J, D et K les points tels que VecteurAJ = 2/3VecteurAB ; VecteurBK = 1/2VecteurBC ; VecteurAD = 2VecteurAC

Montrer que les points J,D et K sont alignés.

Merci d'avance pour votre aide.

Salut,

Voici les étapes pour y parvenir :

Exprimer JD $→^\rightarrow$ en fonction de AB $→^\rightarrow$ et de AC $→^\rightarrow$
Exprimer JK $→^\rightarrow$ en fonction de AB $→^\rightarrow$ et de AC $→^\rightarrow$
En déduire un réel m tel que JK $→^\rightarrow$ =mJD $→^\rightarrow$
Conclure.

Arrives-tu à faire quelque chose ?

Je n'arrive pas à exprimer les vecteurs JD→ et JK→ en fonction de AB→ et AC→. Aidez-moi s'il vous plaît. :frowning2:

Je te montre pour le 1er :

JD $→^\rightarrow$ =JA $→^\rightarrow$ +AD $→^\rightarrow$ =2/3BA $→^\rightarrow$ +2AC $→^\rightarrow$ =-2/3AB $→^\rightarrow$ +2AC $→^\rightarrow$

Essaye de découper JK $→^\rightarrow$ d'une manière similaire.

Merci pour le premier. Pour le deuxième je trouve :

JK→ = JB→ + BK→

JK→ = 1/3AB→ + 1/2BC

Mais je n'arrive pas à me servir de AD→ pour exprimer JK→.

Thierry

Exprimer JK $→^\rightarrow$ en fonction de AB $→^\rightarrow$ et deAC $→^\rightarrow$
Pour l'instant, tu as trouvé JK $→^\rightarrow$ en fonction de AB $→^\rightarrow$ et de BC $→^\rightarrow$ ...
Tu n'es pas loin : découpe encore BC $→^\rightarrow$ .

Je ne trouve pas de relation entre BC→ et AC→.

C'est très simple d'exprimer BC $→^\rightarrow$ en fonction de AB $→^\rightarrow$ et de AC $→^\rightarrow$ !

Quel point faut-il introduire dans BC $→^\rightarrow$ par Chasles ?

D'après la relation de Chasles :
BC→ = BA→ + AC→
BC→ = -AB→ + AC→

Donc :
JK→ = 1/3AB→ + 1/2AC→ - 1/2AB→
JK→ = 2/6AB→ - 3/6AB→ + 1/2AC→
JK→ = -1/6AB→ + 1/2AC→

JD→ = -2/3AB→ + 2AC→ (ou JD→ = -4/6AB→ + 2AC→)

On remarque que :

-1/6 x 4 = -4/6

1/2 x 4 = 2

On a donc : JD→ = 4 x JK→
m = 4

Mais dans vos étapes vous décrivez qu'il faut trouver JK→ = m x JD→. Mais cela marche dans les 2 sens non ? Je peux aussi trouver :
JD→ = m x JK→ ?

Les vecteurs JD→ et JK→ sont donc colinéaires. Alors les points J,D et K sont alignés.

Est-ce juste ? Si oui, est-ce bien rédigé ? Merci d'avance.

C'est parfait.

(Pour écrire dans le math-forum, la flèche des vecteurs à utiliser se trouve en cliquant sur "smilies mathématiques")