Calculer et factoriser la dérivée d'une fonction polynôme de degré 3


  • Z

    Bonjour on me donne la fonction x^3+2x²+3x-2/x²+3
    Je dois montrer que f'(x) = (x+1)²(x²-2x+9)/(x²+3)²
    Alors j'ai fait f'(x)=(x^3+2x²+3x-2)'(x²+3)-(x^3+2x²+3x-2)(x²+3)'/(x²+3)²
    = x^4+6x²+16x+9/(x²+3)²
    Donc f('x) est bien égal à (x+1)²(x²-2x+9)/(x²+3)²
    Je dois en déduire les variations de f : f est strictement croissante sur R
    Je dois calculer la limite de f en+ ∞ et en -∞
    je trouve pour limite en -∞ : -∞ et +∞ pour limite en +∞
    Ensuite je dois montrer que f(x) =x+2 - 8/(x²+3) je suis donc parti de cette expression et je trouve x^3+2x²+3x-2/(x²+3)
    Je dois en déduire que la droite (D) d'equation y=x+2 est une asymptote à (C) de f
    [f(x)-(x+2)]=8/x²+3
    lim x->-∞[f(x)-(x+2)]=lim x->-∞=0 de meme pour lim x->+∞
    Donc (D) est asymptote oblique à Cf en +∞ et en - ∞
    Je dois déterminer la positon de (C) par rapport à (D)
    J'ai dis -8/x²+3 a le meme signe -x²+3 donc Cf est en dessous de D sur R
    Je dois determiner une equation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0
    je trouve y= x-2/3
    Je dois résoudre l'equation f'(x)=1 et je trouve x=0
    Ensuite je dois montrer que (T) est la seule tangente à (C) parallèle à (D) et determiner la position de (C) par rapport à (T)
    Je n'arrive pas pour les deux dernieres questions et pouvez vous me dire si ce que j'ai fait est juste .
    Merci d'avance


  • L

    Bonsoir,

    le peu d'effort que tu as prêté à la présentation ne donne pas très envie, du moins pour ma part, d'y jeter un coup d'oeil.


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  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    Quelques erreurs de frappe, je suppose.
    -8/x²+3 a le signe de -8.

    La résolution de l'équation f'(x) = 1 ne donne qu'une solution donc le nombre de tangente est ....


  • Z

    f'(x)=1 x=0 donc on trouve qu'une seule solution donc (T) est la seule tangente à (C) parallèle à (D) ??


  • Z

    Bonjour, quelqu'un peut m'aider pour la dernière question où il faut donner la position de (C) par rapport à (T) .


  • I

    Ce que tu as fait semble juste ...

    Pour la dernière question, il faut étudier le signe de f(x) - T(x)

    Ca se simplifie plutôt bien, tu verras.


  • Z

    Pour f(x) je prends x+2-8/x²+3 et pour T(x) x-2/3 ?


  • Z

    Je trouve 8/3 - 8/x²+3


  • I

    f(x) - T(x) =

    [ (x3 + 2x² + 3x - 2) / (x²+3) ] - (x - 2/3) =

    ... tu mets tout sur le même dénominateur (x²+3)

    je trouve sauf erreur de ma part :

    [ (8/3) x² ] / (x²+3)

    dont le signe est relativement facile à déterminer ...

    à toi


  • Z

    Donc on dit que x²+3>0 donc f(x) - T(x) a le même signe que 8/3x² donc strictement positif donc C est au dessus de T sur R ?


  • I

    Tout à fait !

    Fais bien proprement le calcul de f(x) - T(x), je ne suis pas sûr que tu ais trouvé le même résultat que moi.


  • Z

    Oui c'est juste parce que moi je trouve 8/3 - 8/x²+3 et donc on fait 8/3(x²+3) - 8/x²+3 et les 8 se simplifient donc ils restent 8/3x² / x²+3 j'avais juste oublié de simplifier encore .
    Juste une petite question encore Noemie avait dit dans une réponse précédente : La résolution de l'équation f'(x) = 1 ne donne qu'une solution donc le nombre de tangente est ....
    la réponse est 0 ?


  • Z

    Il y a un probleme j'ai tracé avec ma calculatrice C et T , et C est vers -3 jusqu'a - ∞ en dessous de T


  • Z

    Ah non pardon c'est juste je me suis trompé en tapant la fonction


  • I

    Un coup de tableur

    CfC_fCf en bleu, la tangente en rouge

    fichier math


  • Z

    Merci beaucoup pour ton aide


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