Fonction homographique

Bonjour à tous,
Je dois répondre à l'énoncé suivant:

Existe-t-il une fonction homographique f tel que f(x)=ax+b / cx+d dont la représentation est une hyperbole H
-passant par le point A(-1;6)
-admettant comme asymptote les droites y=2 et x=1 ?

je ne vois pas trop comment effectuer l'exercice, ma première idée était de résoudre l'équation f(-1)=6 sauf que le résultat ne me convient pas.
pour la deuxième partie de l'énoncé sur les asymptotes, en voyant qu'il en existe une qui vaut x=1, je peux déduire que ma fonction est définie sur R/{1} sauf que je ne comprends pas vraiment pourquoi.
Dois-je d'abord réécrire ma fonction de base sous forme d'un produit ?

sachant que la question suivante de l'exercice porte sur l'étude de cette fonction f.

Merci d'avance.

salut

1. f(-1) = 6 est une bonne approche, incomplète.

2. si 1 est valeur interdite, c'est que le numérateur vaut ... lorsque x = 1
cela permet d'écrire une autre équation.

3. enfin, asymptote horizontale y=2 lorsque lim f(x) = 2 pour x tendant vers +∞.

explore ça.

d'après ton indication2) je peux écrire
Pour x = 1, le numérateur vaut 0
donc a+b = 0

3) je dois simplement montrer que la limite de la différence f(x)-y (pour y =2) lorsque x tend vers +∞ vaut 0 ?
mais cela m'avance t il réellement dans la résolution de l'exercice ?

je ne comprends pas quelle forme doit avoir ma réponse enfait.
que dois-je prouver?

re.

la première condition impose (b-a)/(d-c) = 6

la dernière... ta méthode est trop générale : ici on est dans le cas d'une asymptote horizontale.

quelle est la limite de (ax+b)/(cx+d) lorsque x tend vers +∞ (de deux façons) ?

la limite de (ax+b)/(cx+d) lorsque x tend vers +∞ :
lorsque x tend vers +∞
im(ax+b)=+∞
lim(cx+d)=+∞

lim (ax+b)/(cx+d) est donc une forme indéterminée car quotient dont les limites sont de la forme ∞/∞

donc je simplifie mon expression générale tel que :
(ax+b)/(cx+d) = x(a+b/x) / x(c+d/x)
⇔(ax+b)/(cx+d) = (a+b/x) / (c+d/x)
maintenant je peux lever la forme indéterminée et j'ai
lim (ax+b)/(cx+d) = 0 lorsque x tend vers +∞
car lim (a+b/x) / (c+d/x) = 0
?

lim (a+b/x) / (c+d/x) = 0 : non

tu sais que lim d/x = 0 = lim b/x lorsque x tend vers +∞

la limite cherchée est donc ...

mais c'est aussi une forme indéterminée limite " 0/0 ".

non, plus maintenant avec ce que tu as fait : lim (a+b/x) / (c+d/x).
la limite à l'infini est parfaitement déterminée.

ce n'est pas du tout une forme "0/0" de toute façon.

ok donc j'essaye de reprendre:

Pour x→+∞
lim (a+b/x) = 0
lim(c+d/x) = 0
Est-ce faux ?

Citation
Pour x→+∞
lim (a+b/x) = 0
lim(c+d/x) = 0
Est-ce faux ?
oui

prenons un exemple numérique pour fixer les idées : $\frac3x$

alors on a $?\lim_{x \to + \infty} \quad 2 + \frac3x = \cdots \ ?$

Et bien cette limite vaut 0 ?

pas du tout

prends un "grand" nombre pour x, mettons x= 1 000 000 000.

combien trouves-tu pour 2 + 3/x ?

ah oui en effet c'est faux..
j'ai oublié la constante ?

lim 3/x lorsque x→+∞ vaut 0

mais lim 2 + 3/x lorsque x→+∞ vaut 2
?

voilà

donc en revenant à (a + b/x)/(c + d/x), tu trouves la limite quand x tend vers +∞

et ce n'est pas 0 ni 0/0.

lim(a + b/x)/(c + d/x) = lim a/c

tout simplement a/c

donc cela doit être égal à 2 dans ton exo.

peux-tu dès lors trouver a, b, c et d vérifiant toutes ces conditions ?

Condition 1
(b-a) / (d-c) = 6

Condition 2
a/c=2

Condition 3
a+b=0