4. Déterminer le barycentre de 3 points pondérés

Déterminer le barycentre de 3 points pondérés

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    Bonjour,

    J'ai des difficultés sur un exercice de mathématique. je vous le mets et mon raisonnement à la fin.

    ENONCE

    On considère un triangle ABC

    1) Construire en expliquant la démarche suivie:
    le barycentre K des points pondérés (A,1) et (,2)
    le barycentre I des points pondérés (C,1) et (B,-4)
    le barycentre J des points pondérés (A,2) et (C,1)

    2) Démontrer que B est le barycentre des points pondérés (C,1) et (I,3)

    3) Déterminer le barycentre des points pondérés (A,2), (I,3) et (C,1)

    4) Etudier la position relative des points I, J et K. ( Je sais qu'ils sont aligner d'après la figure que j'ai faite mais je ne sais pas comment faire pour le demontrer afin de repondre a cette question)

    5) Soient M et N les milieux respectifs de [JC] et [IC]. Montrer que MNKJ est un parallèlogramme ayant pour centre, le centre de gravité de ABC.

    REPONSES

    1. Le point K est défini par la relation vectorielle ak⃗=23ab⃗\small \vec{ak}=\frac{2}{3}\vec{ab}ak=32​ab
      Le point I est défini par la relation vectorielle ci⃗=43cb⃗\small \vec{ci}=\frac{4}{3}\vec{cb}ci=34​cb
      Le point J est défini par la relation vectorielle aj⃗=13ac⃗\small \vec{aj}=\frac{1}{3}\vec{ac}aj​=31​ac

    2. Le point B est barycentre des points C et I par la relation vectorielle cb⃗=34ic⃗\small \vec{cb}=\frac{3}{4}\vec{ic}cb=43​ic. on en déduit 3CI=4CB ⇔ 4CB=3CI (mais je ne démontre rien!!)
      Je sais qu'il y a un rapport avec le point I bar de B et C.

    3. nous savons que:
      G bar[(A,2), (I,3) et (C,1)]
      K bat[(A,1), (B,2)]

    par associativité nous pouvons dire que G est aussi bar de (A,2) et (B,4). et en déduire que G bar[(A,2)(B,4)]=K bar2[(A,1)(B,2)]. Donc K est aussi le barycentre des points (A,2), (I,3) et (C,1).

    1. je veux montrer une relation entre JK et JI mais je bloque pour JI
      jk⃗=ja⃗+ak⃗=−13ac⃗+23ab⃗\small \vec{jk}=\vec{ja}+\vec{ak} =-\frac{1}{3}\vec{ac}+\frac{2}{3}\vec{ab}jk​=ja​+ak=−31​ac+32​ab

    JI=JA+AI

    AI

    CI=\frac{4}{3}CB
    CA+AI=+\frac{4}{3}(CA+AB)
    CA+AI=+\frac{4}{3}CA+\frac{4}{3}AB
    AI=+\frac{4}{3}CA+\frac{4}{3}AB-CA
    AI=+\frac{1}{3}CA+\frac{4}{3}AB

    donc
    JI=JA+AI
    =-\frac{1}{3}AC+\frac{2}{3}AB+\frac{1}{3}CA+\frac{4}{3}AB
    =\frac{4}{3}AB

    Et la je ne sais pas quoi faire la dernière égalité est fausse mais je ne sais pas comment faire!!

    Merci d'avance pour votre aide bonne nuit.

    J'ai eu la flemme de tout ré-éditer : balises latex, \small, \vec, plusieurs lignes etc. - NdZ

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