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Envoyé: 08.03.2010, 11:58
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Cosmos
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bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo. merci
Partie I :
Soit g définie sur [0;+∞[ par: g(x)= ³√(1+x) - 1 - (x/3).
1) déterminer lim g(x) quand x tend vers +∞.
2) Montrer que pour tout x de [0;+∞[ : g'(x)= 1/3 * [1/(³√(1+x)² - 1].
Partie II :
Soient f définie sur [0;+∞[ par : f(x)= ³√(1+x) et C sa courbe représentative dans un repère (o;i;j).
1) Quel est le sens de variations de f ?
2) Déterminer l’équation de la tangente D à C au point d’abscisse 0.
3) Étudier les positions relatives de C et D (on pourra utiliser les résultats de la partie I).
partie I
1) est ce qu'il faut modifier l'écriture de g(x) ?
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Envoyé: 08.03.2010, 12:35
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Webmaster
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Salut,
Oui je modifierais l'écriture de g(x) car tu n'as a priori rien dans ton cours sur la fonction racine cubique.
J'utiliserai l'écriture exponentielle : ³√a=a1/3=e1/3.lna
Thierry
Prof de math à Paris.
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Envoyé: 08.03.2010, 13:24
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Cosmos
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ok. si j'écrit g(x)= e1/3*ln(1+x) - (3+x)/3 c'est correcte ?
modifié par : sil2b, 08 Mar 2010 - 13:24
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Envoyé: 08.03.2010, 15:16
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Bonjour,
C'est correct.
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Envoyé: 08.03.2010, 17:17
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Cosmos
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pour la limite en +∞ on a bien une forme indéterminée, on a +∞ - (+∞) donc ça fait +∞ + (-∞) ?
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Envoyé: 08.03.2010, 17:31
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Oui, c'est une forme indéterminée.
Essaie de factoriser.
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Envoyé: 08.03.2010, 17:41
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Cosmos
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je factorise quel terme ?
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Envoyé: 08.03.2010, 17:53
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Modératrice
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Mets x1/3) en facteur dans g(x).
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Envoyé: 08.03.2010, 18:00
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Cosmos
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je n'arrive pas
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Envoyé: 08.03.2010, 18:19
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g(x)= ³√(1+x) - 1 - (x/3).
g(x) = (1+x)1/3 - 1 - x/3
= x1/3(1/x+1)1/3 - 1 - x/3
= x1/3[(1/x+1)1/3 - 1/3*x2/3) - 1
Puis tu calcules la limite
+∞ * (-∞) = -∞
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Envoyé: 08.03.2010, 18:44
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Cosmos
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ok, mais quand j'essaye de développer, je n'arrive pas à trouver la forme initiale de g(x)
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Envoyé: 08.03.2010, 18:47
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J'ai indiqué le détail des calculs.
Quelle étape te pose problème ?
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Envoyé: 08.03.2010, 18:48
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Cosmos
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les 2 dernières
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Envoyé: 08.03.2010, 19:17
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Cosmos
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si je développe la dernière ligne, x1/3*(1/x)1/3 + x1/3*11/3 - 1/3*x2/3*x1/3 -1
=(x*1/x)1/3 + (x*1)1/3 - (1/3*x2/3 + 1/3) - 1
=11/3 + x1/3 - 1/3*x - 1
=(1+x)1/3 - x/3 -1
c'est ok comme ça ?
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Envoyé: 08.03.2010, 20:27
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Non,
x1/3(1/x+1)1/3 n'est pas égal à( x*1/x)1/3 + (x*1)1/3
mais (x(1/x+1))1/3
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Envoyé: 08.03.2010, 20:57
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Cosmos
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ok.
(1/x + 1)1/3 → 1 ?
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Envoyé: 08.03.2010, 20:58
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Si x tend vers ∞, oui.
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Envoyé: 08.03.2010, 21:02
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Cosmos
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ok, pour la dérivée, c'est mieux de prendre quelle écriture de g(x) ?
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Envoyé: 08.03.2010, 21:06
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g(x)= ³√(1+x) - 1 - (x/3)
ou
g(x)= (1+x)1/3 - 1 - (x/3)
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Envoyé: 08.03.2010, 21:24
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Cosmos
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g(x)= (1+x)1/3 - 1 - (x/3)
g'(x)=1/3(1+x)1/3 - 1*1 - 1/3
=1/3(1+x)-2/3 - 1/3
=1/3*1/(1+x)2/3 - 1/3
=1/3*1/³√(1+x)² - 1/3
=1/3[1/³√(1+x)² - 1]
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Envoyé: 08.03.2010, 21:47
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C'est juste.
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Envoyé: 08.03.2010, 22:10
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Cosmos
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ok.
partie II:
1) g(x)= ³√(1+x) g'(x)=1/3*(1+x)-2/3
comment je fais pour déterminer le signe de g'(x) ?
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Envoyé: 08.03.2010, 22:18
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Modératrice
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g'(x)=1/3*(1+x)-2/3
= 1/3 * 1/³V(1+x)²
donc .....
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Envoyé: 08.03.2010, 22:27
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Cosmos
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1/³V(1+x)² <1 donc g'(x) décroissante
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Envoyé: 08.03.2010, 22:32
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Modératrice
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Non,
Tu cherches le signe.
g'(x)=1/3*(1+x)-2/3
= 1/3 * 1/³V(1+x)²
(1+x)² > 0, donc pour x appartenant à [0;+∞[, g'(x) > 0
donc fonction ....
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Envoyé: 08.03.2010, 22:49
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Cosmos
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ok.
2) équation de D : y=x/3 + 1 ce qui me paraît juste dans la logique
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Envoyé: 09.03.2010, 07:42
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Modératrice
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L'équation de la tangente est juste.
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Envoyé: 09.03.2010, 10:04
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Cosmos
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ok. donc pour trouver la position entre C et D, on fait ³√(1+x) - 1 - (x/3), après il faut étudier le signe mais je ne sais pas comment faire là.
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Envoyé: 09.03.2010, 10:14
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Utilise les résultats obtenus à la partie I.
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Envoyé: 09.03.2010, 10:28
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Cosmos
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pour la question 2) de la partie I je n'avais pas dit quel était le signe de g et son sens de variations.
comme 1/³√(1+x)²≤1 => g'(x)<0 donc g décroissante sur [0;+∞[ et comment je trouve le signe de g ?
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Envoyé: 09.03.2010, 10:34
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Modératrice
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Exact,
Mais tu as calculé la dérivée,
Montre que pour x ≥0, g'(x) < 0 donc fonction décroissante
e t comme g(0) = 0,
g(x) ......
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Envoyé: 09.03.2010, 10:44
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Cosmos
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le fait fait que g(0)=0 signifie que g négative ??
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Envoyé: 09.03.2010, 10:56
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Modératrice
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Tu as g(0) = 0 et la limite en +∞ est -∞
la fonction étant décroissante, f(x) varie de 0 à -∞; donc g(x) ≤ 0 pour x ≥ 0
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Envoyé: 09.03.2010, 11:17
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Cosmos
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ok, donc pour le signe de g'(x) et si j'écris:
pour tout x≥0, (x+1)²≥1, √(x+1)²≥1, ³√(x+1)²≥1, 1/³√(x+1)²≤1 donc g'(x)≤0 => g décroissante
est ce que c'est correcte?
après pour le signe de g j'écris ce que tu m'as dit dans ton dernier post
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Envoyé: 09.03.2010, 11:30
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C'est correct.
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Envoyé: 09.03.2010, 11:42
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Cosmos
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je reviens question 3) partie II :
on peut remarquer déja que D est croissante sur [0;+∞[ donc qu'elle est au dessus de g ?
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Envoyé: 09.03.2010, 11:58
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A la question 3, tu compares D et f et non D et g.
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Envoyé: 09.03.2010, 12:06
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Cosmos
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ah oui. on a vu que g(x)≤0 donc D est au dessus de C
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Envoyé: 09.03.2010, 14:38
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C'est correct.
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Envoyé: 09.03.2010, 17:27
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Cosmos
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ok. merci Noemi
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