3. Maths Spé Nombres premiers et congruences.

Maths Spé Nombres premiers et congruences.

  • I

    Bonjour voilà j'ai un gros DM j'ai réussi quelques exercices mais il y en a un ou j'ai du mal :
    x désigne un entier supérieur ou égal à é et m un entier naturel non nul.
    Exprimer P(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + .... - x^2m-1 + x^2m en fonction de x.
    Je trouve (1 + x2m+1x^{2m+1}x2m+1)/1+x
    En déduire que x+1 divise x2m+1x^{2m+1}x2m+1. C'est bon.

    2.a. q désigne un entier naturel impair strictement supérieur à 1 et q' un entier naturel non nul. Démontrer que 2qq′2^{qq'}2qq′ + 1 n'est jamais un nombre premier.
    b. m désigne un entier naturel non nul. Démontrer que si 2m2^m2m + 1 est premier alors m est de la forum 2m2^m2m + 1 est premier alors m est de la forme 2n2^n2n avec n entier naturel.

    Question indépendante :
    L'entier 2(2n)2^{(2n)}2(2n) + 1 avec n entier naturel est appelé n-ième nombre de Fermat et il est noté Fn.
    3.a. Montrer que pour tout entier naturel m 6m6^m6m ≡ 1[5] et en déduire que pour tout entier naturel m non nul on a : 6 m^mm ≡ 6[10].
    b. Vérifier que 242^424 ≡ 6[10] puis démontrer que pour tout entier naturel n , n≥2 que 2(2n)2^{(2n)}2(2n) ≡ 6[10].
    c. Quel est le chiffre des unités de Fn ?
    2.a. Démontrer que pour tout entier naturel k non nul : 56(24k)56^{(24k)}56(24k)≡ 56[100].
    b. Vérifier que 282^828 ≡ 56[100] et en déduire que si n ≡ 3[4], l'écriture décimale de Fn se termine pas 57.

    Merci de m'aider à résoudre cet exercice que je trouve assez difficile.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonjour,

    2.a. Utilise le résultat de la question 1.

    I 1 réponse
  • I

    On sait que x+1 divise x2m+1x^{2m+1}x2m+1, donc il existe un entier naturel k tel que x2m+1x^{2m+1}x2m+1 = k(x+1) mais après ... 😞

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