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Maths Spé Nombres premiers et congruences.
Envoyé: 06.03.2010, 16:45

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enregistré depuis: janv.. 2010
Messages: 14

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.10 		Bonjour voilà j'ai un gros DM j'ai réussi quelques exercices mais il y en a un ou j'ai du mal :
x désigne un entier supérieur ou égal à é et m un entier naturel non nul.
Exprimer P(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + .... - x^2m-1 + x^2m en fonction de x.
Je trouve (1 + x2m+1)/1+x
En déduire que x+1 divise x2m+1. C'est bon.

2.a. q désigne un entier naturel impair strictement supérieur à 1 et q' un entier naturel non nul. Démontrer que 2qq' + 1 n'est jamais un nombre premier.
b. m désigne un entier naturel non nul. Démontrer que si 2m + 1 est premier alors m est de la forum 2m + 1 est premier alors m est de la forme 2n avec n entier naturel.

Question indépendante :
L'entier 2(2n) + 1 avec n entier naturel est appelé n-ième nombre de Fermat et il est noté Fn.
3.a. Montrer que pour tout entier naturel m 6m ≡ 1[5] et en déduire que pour tout entier naturel m non nul on a : 6 m ≡ 6[10].
b. Vérifier que 24 ≡ 6[10] puis démontrer que pour tout entier naturel n , n≥2 que 2(2n) ≡ 6[10].
c. Quel est le chiffre des unités de Fn ?
2.a. Démontrer que pour tout entier naturel k non nul : 56(24k)≡ 56[100].
b. Vérifier que 28 ≡ 56[100] et en déduire que si n ≡ 3[4], l'écriture décimale de Fn se termine pas 57.

Merci de m'aider à résoudre cet exercice que je trouve assez difficile.

modifié par : ihab27, 06 Mar 2010 - 16:50
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Envoyé: 06.03.2010, 18:12

Modératrice


enregistré depuis: janv.. 2009
Messages: 15343

Status: hors ligne
dernière visite: 08.02.12 		Bonjour,

2.a. Utilise le résultat de la question 1.
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Envoyé: 07.03.2010, 17:50

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enregistré depuis: janv.. 2010
Messages: 14

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.10 		On sait que x+1 divise x2m+1, donc il existe un entier naturel k tel que x2m+1 = k(x+1) mais après ... :(
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