j'aurai besoin d'aide pour une question, et d'un petit rappel sur les congruences.
Tout d'abord, quand on sait que par exemple a ≡ b [c] , peut-on multiplier des deux côtés par un mm nombre n tel que an ≡ bn [c] ?
L'exo porte sur le codage ASCII, on admet que le code des caractéres alphanumériques utilisés est un entier n tel que 0 ≤ n ≤ 255. A chaque nombre de la ligne de codage ASCII qui code le message "le facteur sonnera trois fois." on associe le reste de la division de 7n par 256. On cherche alors à demontrer qu'à deux entiers differents sont associés deux codages differents par la fonction precedente.
Merci d'avance, j'espere avoir été claire...
Loris
Bonjour,
il est évident que si a ≡ b [c] alors pour tout entier n : an ≡ bn [c]
Mais la réciproque est fausse sauf cas particuliers.
Ainsi : 2*4 ≡ 2*13 [6] , mais 4 n'est pas congru à 13 modulo 6.
Dans ton problème, on se trouve précisément dans un cas où on peut " diviser ".
Tu dois démontrer que si 7n ≡ 7n' [256] , alors n ≡ n' [256]
Il en résultera évidemment que n = n' puisqu'ils sont tous deux dans l'intervalle
[0 ; 255]
Mathtous
http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant :Mathématiques à bâtons rompus
Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.
Me revoila dans la partie terminale , fibonacci c'était pour mon frere...
Donc pour le rappel merci , mais je comprends pas pourquoi on doit demontrer que 7n ≡ 7n' [256] ?
Ton application est de la forme : n → f(n) = 7n [256]
Tu dois démontrer que deux entier différents ont des images différentes :
n ≠ n' ⇒ f(n) ≠ f(n')
On raisonne par contraposée : si f(n) = f(n') , alors on doit avoir n = n'.
f(n) = f(n') se traduit par 7n ≡ 7n' [256]
Mathtous
http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant :Mathématiques à bâtons rompus
Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.
Je précise : tu ne dois pas démontrer que 7n ≡ 7n' [256], tu dois démontrer que Si 7n ≡ 7n' [256] , alors n ≡ n' [256]
Mathtous
http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant :Mathématiques à bâtons rompus
Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.
Mathtous
http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant :Mathématiques à bâtons rompus
Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.
7n ≡ 7n' [256] ⇔ 7n - 7n' est un multiple de 256.
Continue.
Mathtous
http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant :Mathématiques à bâtons rompus
Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.
Tu vas trop vite : tu oublies le 7.
Tu dois utiliser pour conclure un célèbre théorème.
7(n-n') est un multiple de 256 autrement dit, 256 est un diviseur de 7(n - n').
Or 256 et 7 ...
Mathtous
http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant :Mathématiques à bâtons rompus
Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.
Mathtous
http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant :Mathématiques à bâtons rompus
Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.
On a donc démontré que si 7n ≡ 7n' [256] alors n ≡ n' [256]
Or n et n' sont tous deux entre 0 et 255, donc s'ils sont congrus modulo 256, ils sont égaux.
En résumé , f(n) = f(n') ⇒ n = n'
Et donc : n ≠ n' ⇒ f(n) ≠ f(n') : deux éléments différents ont des images ( i.e. des codages ) différents.
Mathtous
http://mathtous.perso.sfr.fr Cliquez sur le lien suivant :Mathématiques à bâtons rompus
Des logiciels gratuits, des articles, des problèmes variés, et un mini-forum.
