Fonction exponentielle

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	Fonction exponentielle

Cookie-mélo	Envoyé: 04.03.2010, 11:48
Voie lactée enregistré depuis: sept.. 2009 Messages: 89 Status: hors ligne dernière visite: 10.03.10	Soit f la fonction de variable réelle x, définie sur R, par: f(x)= e^x(e^x + a) +b où a et b sont deux constantes réelles. Les renseignements connus sur f sont donnés dans le tableau de variations ci-dessous. f'(0)=0 f(x) décroissant sur ]-∞;0] et croissant sue [0;+∞[. Sa limite en -∞ est de -3 1. Calculer f'(x) en fonction de a (f' désigne la fonction dérivée de f) 2a. Déterminer a et b en vous aidant des informations contenues dans le tableau ci -dessus b. Calculer f(0) et calculer la limite de f en +∞ c Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variation f 3. Résoudre dans R l'équation e^x(e^x -2)-3=0 (On pourra poser X=e^x) 4. Résoudre dans R les inéquations: e^x(e^x -2)-3 ≥ -4 et e^x(e^x -2)-3≤0 (On utilisera le tableau de variation de f ci-dessus et en particulier les informations obtenues en 2b.) J'ai pu répondre qu'à la 1ère question, toujours ce blocage: 1. Je trouve f'(x)= e^4x +ae^x Aidez moi s'il vous plait!


Iron	Envoyé: 04.03.2010, 12:21
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	Bonjour Cookie, Pour la dérivée, je trouve f'(x) = e^x ( 2 e^x + a ) Tu peux vérifier ton résultat ?

Cookie-mélo	Envoyé: 04.03.2010, 13:36
Voie lactée enregistré depuis: sept.. 2009 Messages: 89 Status: hors ligne dernière visite: 10.03.10	Je l'ai refait mais je comprends pas pourquoi vous trouvez e^x ( 2 e^x + a ). Car moi je trouve en factorisant e^x ( e^x + a)

Iron	Envoyé: 04.03.2010, 13:38
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	avec : u = e^x alors u' = e^x et v = e^x + a alors v' = e^x On a f' = (uv + b)' = (uv)' + 0 = u'v + uv' = ... attention aussi : 2 × e^x × e^x = 2e^2x ≠ e^4x

Iron	Envoyé: 04.03.2010, 13:42
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	Je complète alors : u = e^x alors u' = e^x et v = e^x + a alors v' = e^x On a f' = (uv + b)' = (uv)' + 0 = u'v + uv' u'v + uv' = e^x × (e^x+a) + e^x×e^x = e^x ( e^x + a + e^x) = e^x ( 2 e^x + a )

Cookie-mélo	Envoyé: 04.03.2010, 14:31
Voie lactée enregistré depuis: sept.. 2009 Messages: 89 Status: hors ligne dernière visite: 10.03.10	Oui désormais je comprends mieux. Pour la question 2. Je fais un système avec f'(0)=0 et f(x)=-3???

Iron	Envoyé: 04.03.2010, 15:01
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	Tu a f'(x) = e^x ( 2 e^x + a ) On te donne f'(0) = 0, donc effectivement tu résous : f'(0) = 0 ... tu trouveras a = ... Pour trouver b = ... Calcule la limte de f en -∞ en fonction de a et de b Or, tu sais que cette limite vaut -3, cela te déterminera b

Cookie-mélo	Envoyé: 04.03.2010, 16:27
Voie lactée enregistré depuis: sept.. 2009 Messages: 89 Status: hors ligne dernière visite: 10.03.10	Je trouve pour f'(0) = 0 a= 2e² / e = -2e b= -3, car la limite en un réel est égal à son image.

Iron	Envoyé: 04.03.2010, 16:59
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	Pour b oui, b = -3 f'(0) = e⁰ ( 2 e⁰ + a ) = 2 + a donc f'(0) = 0 ⇔ a = ... modifié par : Iron, 04 Mar 2010 - 17:00

Cookie-mélo	Envoyé: 04.03.2010, 19:15
Voie lactée enregistré depuis: sept.. 2009 Messages: 89 Status: hors ligne dernière visite: 10.03.10	f'(0) = 0 ⇔ a = -2 Donc f(0)= -4 et lim f(x) en +∞ =+∞?? 4. Est-ce que je peux poser X= e^x ????

Iron	Envoyé: 04.03.2010, 21:44
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	Citation f'(0) = 0 ⇔ a = -2 Donc f(0)= -4 et lim f(x) en +∞ =+∞?? Oui donc f(x) = e^x(e^x -2)-3 3) Pour résoudre dans l'équation e^x(e^x -2)-3=0 : tu la développes, et en posant X = e^x, tu obtiens un polynôme du second degré que tu peux résoudre avec la méthode du discriminant par ex. Tu en déduis la/les racines X A partir de ses racines X, tu calcules les valeurs de x (si elles existent) qui répondent à l'équation. Pour la question 4) complète le tableau de variation avec les limites et la/les solution(s) trouvée(s) à la question 3 et trace la courbe. Tu pourras en déduire les solutions des deux inéquations modifié par : Iron, 05 Mar 2010 - 08:56

Cookie-mélo	Envoyé: 05.03.2010, 10:24
Voie lactée enregistré depuis: sept.. 2009 Messages: 89 Status: hors ligne dernière visite: 10.03.10	3. J'ai trouvé comme racine -3 et 1 4. Pour répondre à la question j'ai le droit de tracer la courbe Car pour e^x(e^x -2)-3 ≥ -4 j'ai trouvé comme solution R, car -4 est le minimum donc toute la fonction est strictement supérieur Par contre pour e^x(e^x -2)-3≤0, je ne sais pas comment formuler ma réponse , mais je vois la réponse

Iron	Envoyé: 05.03.2010, 11:39
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	La question 3) n’est pas terminée, c’est pour cela que tu ne peux pas répondre à la dernière inéquation. Avec le changement de variable X = e^x, e^x(e^x -2) - 3 = 0 devient : X² - 2X – 3 = 0 Dont les racines sont effectivement : X₁ = -1 et X₂ = 3 Mais c’est x que tu cherches, il faut donc ensuite trouver x₁ et x₂ tels que : X₁ = e^x₁ et X₂ = e^x₂ Vérifie ton résultat avec ta représentation graphique ... d'après elle, tu ne devrais trouver qu'une seule valeur de x qui annule f. $fichier math$

Iron	Envoyé: 05.03.2010, 11:41
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	Citation 3. J'ai trouvé comme racine -3 et 1 Moi, j'ai -1 et 3, c'est une erreur de recopie ou une erreur de signe ?

Cookie-mélo	Envoyé: 05.03.2010, 13:54
Voie lactée enregistré depuis: sept.. 2009 Messages: 89 Status: hors ligne dernière visite: 10.03.10	3. Donc les solutions sont e^-1( que l'on rejette car l'exponentielle est strictement positive) et e³ 4. e^x ( e^x -2) -3≥ -4 pour R, car -4 est le minimum de la fonction e^x ( e^x -2) -3 ≤0, je fais un tableau de signe???

Iron	Envoyé: 05.03.2010, 16:00
Cosmos enregistré depuis: oct.. 2007 Messages: 1215 Status: hors ligne dernière visite: 09.02.12	Citation 3. Donc les solutions sont e-1( que l'on rejette car l'exponentielle est strictement positive) et e³ Pas tout à fait . . . la solution n’est pas e³ mais ln3, je te montre : Si X₁ = -1 alors e^x₁ = -1 impossible car pour tout réel x, e^x > 0 Si X₂ = 3 alors e^x₂ = 3 ln(e^x₂) = ln3 x₂ = ln3 L’équation admet donc une solution unique : ln3 ≈ 1.1 Citation 4. ex ( ex -2) -3≥ -4 pour R, car -4 est le minimum de la fonction Oui Citation ex ( ex -2) -3 ≤0, je fais un tableau de signe??? Non, avec le résultat de la question 3), tu peux compléter le tableau de variation de la fonction comme ceci (en bleu) : $fichier math$ Et c’est sur ce tableau (et la courbe pour t'aider) que tu t’appuies.

Cookie-mélo	Envoyé: 05.03.2010, 19:07
Voie lactée enregistré depuis: sept.. 2009 Messages: 89 Status: hors ligne dernière visite: 10.03.10	Merci beaucoup pour votre aide! Sans votre j'aurais avancé très lentement dans mon exercice !!