Etudier continuité, dérivabilité et variations d'une fonction exponentielle

Soit f la fonction de variable réelle x, définie sur R, par:
f(x)= $e$ ^x $e^x$ + a) +b où a et b sont deux constantes réelles. Les renseignements connus sur f sont donnés dans le tableau de variations ci-dessous.

f'(0)=0
f(x) décroissant sur ]-∞;0] et croissant sue [0;+∞[. Sa limite en -∞ est de -3

Calculer f'(x) en fonction de a (f' désigne la fonction dérivée de f)

2a. Déterminer a et b en vous aidant des informations contenues dans le tableau ci -dessus
b. Calculer f(0) et calculer la limite de f en +∞
c Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de variation f

Résoudre dans R l'équation $e$ ^x $e^x$ -2)-3=0 (On pourra poser $X=e^x$ )
Résoudre dans R les inéquations:
$e$ ^x $e^x$ -2)-3 ≥ -4 et $e$ ^x $e^x$ -2)-3≤0

(On utilisera le tableau de variation de f ci-dessus et en particulier les informations obtenues en 2b.)

J'ai pu répondre qu'à la 1ère question, toujours ce blocage:

Je trouve f'(x)= $e^{4x}$ $ae^x$

Aidez moi s'il vous plait!

Bonjour Cookie,

Pour la dérivée, je trouve f'(x) = $e^x$ ( 2 $e^x$ + a )

Tu peux vérifier ton résultat ?

Je l'ai refait mais je comprends pas pourquoi vous trouvez $e^x$ ( 2 $e^x$ + a ). Car moi je trouve en factorisant $e^x$ ( $e^x$ + a)

avec :

u = $e^x$ alors u' = $e^x$
et
v = $e^x$ + a alors v' = $e^x$

On a f' = (uv + b)' = (uv)' + 0 = u'v + uv' = ...

attention aussi : 2 × $e^x$ × $e^x$ = $2e^{2x}$ ≠ $e^{4x}$

Je complète alors :

u = $e^x$ alors u' = $e^x$
et
v = $e^x$ + a alors v' = $e^x$

On a f' = (uv + b)' = (uv)' + 0 = u'v + uv'

u'v + uv' =

$e^x$ × $e^x$ +a) + $e^x$ × $e^x$ =

$e^x$ ( $e^x$ + a + $e^x$ ) =

$e^x$ ( 2 $e^x$ + a )

Oui désormais je comprends mieux.
Pour la question 2. Je fais un système avec f'(0)=0 et f(x)=-3???

Tu a f'(x) = $e^x$ ( 2 $e^x$ + a )

On te donne f'(0) = 0, donc effectivement tu résous :

f'(0) = 0
...
tu trouveras a = ...

Pour trouver b = ...

Calcule la limte de f en -∞ en fonction de a et de b

Or, tu sais que cette limite vaut -3, cela te déterminera b

Je trouve pour f'(0) = 0 a= 2e² / e = -2e
b= -3, car la limite en un réel est égal à son image.

Pour b oui, b = -3

f'(0) = $e^0$ ( 2 $e^0$ + a ) = 2 + a

donc f'(0) = 0 ⇔ a = ...

f'(0) = 0 ⇔ a = -2
Donc f(0)= -4 et lim f(x) en +∞ =+∞??

Est-ce que je peux poser X= $e^x$ ????

Citation
f'(0) = 0 ⇔ a = -2
Donc f(0)= -4 et lim f(x) en +∞ =+∞??
Oui

donc f(x) = $e$ ^x $e^x$ -2)-3

Pour résoudre dans $mathbb{R}$ l'équation $e$ ^x $e^x$ -2)-3=0 :

tu la développes, et en posant X = $e^x$ , tu obtiens un polynôme du second degré que tu peux résoudre avec la méthode du discriminant par ex.
Tu en déduis la/les racines X
A partir de ses racines X, tu calcules les valeurs de x (si elles existent) qui répondent à l'équation.

Pour la question 4) complète le tableau de variation avec les limites et la/les solution(s) trouvée(s) à la question 3 et trace la courbe.

Tu pourras en déduire les solutions des deux inéquations

J'ai trouvé comme racine -3 et 1
Pour répondre à la question j'ai le droit de tracer la courbe
Car pour $e$ ^x $e^x$ -2)-3 ≥ -4 j'ai trouvé comme solution R, car -4 est le minimum donc toute la fonction est strictement supérieur
Par contre pour $e$ ^x $e^x$ -2)-3≤0, je ne sais pas comment formuler ma réponse , mais je vois la réponse

La question 3) n’est pas terminée, c’est pour cela que tu ne peux pas répondre à la dernière inéquation.

Avec le changement de variable X = $e^x$ , $e$ ^x $e^x$ -2) - 3 = 0 devient :

X² - 2X – 3 = 0

Dont les racines sont effectivement : $X_1$ = -1 et $X_2$ = 3

Mais c’est x que tu cherches, il faut donc ensuite trouver $x_1$ et $x_2$ tels que :

$X_1$ = $e$ ^{x_1$}$ et $X_2$ = $e$ ^{x_2$}$

Vérifie ton résultat avec ta représentation graphique ... d'après elle, tu ne devrais trouver qu'une seule valeur de x qui annule f.

$fichier math$

Citation
3. J'ai trouvé comme racine -3 et 1
Moi, j'ai -1 et 3, c'est une erreur de recopie ou une erreur de signe ?

Donc les solutions sont $e^{-1}$ ( que l'on rejette car l'exponentielle est strictement positive) et e³
$e^x$ ( $e^x$ -2) -3≥ -4 pour R, car -4 est le minimum de la fonction
$e^x$ ( $e^x$ -2) -3 ≤0, je fais un tableau de signe???

Citation
3. Donc les solutions sont e-1( que l'on rejette car l'exponentielle est strictement positive) et e³
Pas tout à fait . . . la solution n’est pas $e^3$ mais ln3, je te montre :

Si $X_1$ = -1 alors

$e$ ^{x_1$}$ = -1 impossible car pour tout réel x, $e^x$ > 0

Si $X_2$ = 3 alors

$e$ ^{x_2$}$ = 3

$l n (e$ ^{x_2$}$) = ln3

$strong>x_2$ = ln3

L’équation admet donc une solution unique : ln3 ≈ 1.1

Citation
4. ex ( ex -2) -3≥ -4 pour R, car -4 est le minimum de la fonction

Oui

Citation
ex ( ex -2) -3 ≤0, je fais un tableau de signe???

Non, avec le résultat de la question 3), tu peux compléter le tableau de variation de la fonction comme ceci (en bleu) :

$fichier math$

Et c’est sur ce tableau (et la courbe pour t'aider) que tu t’appuies.

Merci beaucoup pour votre aide! Sans votre j'aurais avancé très lentement dans mon exercice !!