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Envoyé: 04.03.2010, 10:54
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Galaxie
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Bonjour ,
Est ce que vous pouvez m'expliquer svp comment on peut déterminer toutes les matrices diagonales X d'ordre 3 vérifiant X²-X-2I=0
Est ce que cette équation peut s'écrire comme une matrice?
merci d'avance 
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Envoyé: 04.03.2010, 11:06
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Cosmos
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Bonjour,
Si X est diagonale, elle permute avec toute matrice pour la multiplication.
modifié par : mathtous, 05 Mar 2010 - 10:54
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 11:17
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Galaxie
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On vient de commencer les matrices
je veux bien permuter avec toute matrice pour la multiplication mais je ne comprends pas ce que ça veut dire 
est ce que ça veut dire
1 0 0
0 1 0
0 0 1
?
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Envoyé: 04.03.2010, 11:20
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Cosmos
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En général, si tu as deux matrices carrées M et N, le produit MN n'est pas égal au produit NM.
Mais si l'une des matrices est diagonale, alors oui.
Attention : une matrice diagonale n'est pas forcément la matrice unité. Ce peut être, par exemple :
5 0 0
0 4 0
0 0 7
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 11:29
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Galaxie
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d'accord mais je permute l'équation avec quoi??
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Envoyé: 04.03.2010, 11:32
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Cosmos
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Non : ce sont les matrices qui permutent.
Ca te permet de raisonner comme tu le fais habituellement pour résoudre une équation du second degré dans R.
Tu as le droit car l'ensemble des matrices diagonales 3x3 est un anneau commutatif ( et unitaire ).
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 14:48
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Galaxie
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j'ai peut être trouvé quelque chose :
X²=|4 0 0|
|0 4 0|
|0 0 4|
X= |2 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|
-X= |-2 0 0|
|0 -2 0|
|0 0 -2|
-2I=|-2 0 0|
|0 -2 0|
|0 0 -2|
qu'est ce que vous en pensez?
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Envoyé: 04.03.2010, 17:38
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Cosmos
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En clair, tu as trouvé que si X est la matrice
2 0 0
0 2 0
0 0 2
alors X² - X - 2I = 0
Ce qui est juste : tu as trouvé une solution .
Mais il y en a une autre.
Mathtous
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Envoyé: 05.03.2010, 10:14
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Galaxie
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Bonjour,
Je ne vois vraiment pas 
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Envoyé: 05.03.2010, 10:55
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Cosmos
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Bonjour,
L'équation donnée étant du second degré, tu dois t'attendre à ce qu'il y ait au moins une autre solution.
Hélas, l'anneau des matrices diagonales 3x3 n'est pas intègre.
Il y a donc en réalité plusieurs autres solutions.
Par exemple , essaie cette matrice :
2 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Puis tente de voir comment je l'ai trouvée.
Mathtous
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Envoyé: 05.03.2010, 13:15
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Galaxie
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Il y a alors aussi:
1 0 0
0 -1 0
0 0 1
je pense que le 1 correspond au X², le -1 au X et le 1 à l'identité?
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Envoyé: 05.03.2010, 14:18
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Cosmos
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Non : vérifie : ta matrice n'est pas solution de X² - X - 2I = 0
Et à quoi correspondrait le 2 de l'exemple que je t'ai donné ?
Je vais t'aider : la matrice diagonale cherchée est de la forme :
u 0 0
0 v 0
0 0 w
u,v,w sont des réels mais pas forcément égaux.
Ecris les équations que doivent vérifier ces 3 nombres.
Mathtous
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