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Envoyé: 02.03.2010, 15:44
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Galaxie
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Bonjour 
Pouvez vous regardez svp
Il faut que je résolve et discute, suivant les valeurs des paramètres réels m et p, le système suivant dans R2
9(m-1)x - (m+2)y = p
(4m +8)x - (m-1)y = m+p
Je pense que je dois d'abord étudier le cas où m=1
y=-p/3
x=(m+p)/12
Merci d'avance
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Envoyé: 02.03.2010, 15:52
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Cosmos
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C'est encore moi.
Tu n'aurais pas plutôt des exercices un peu moins " calculatoires " ?
Enfin.
Avant toute chose : deux questions :
1) As-tu vu la méthode de Cramer ( avec les déterminants ) pour résoudre les systèmes ?
2) Etudier d'abord le cas m = 1 : peut-être, on va voir, mais pourquoi pas aussi le cas m = -2 ?
Mathtous
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Envoyé: 02.03.2010, 16:05
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Galaxie
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si si mais je dois tous les faire !
non je n'ai pas vu la méthode de Cramer si ce n'est pas très compliqué à expliquer je veux bien que vous me l'expliquez svp .
m=1 ou m =-2j'aurais fait les 2!
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Envoyé: 02.03.2010, 16:24
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Cosmos
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Bonjour à vous deux . . . insertion furtive, juste pour mettre le lien vers la fiche de Zauctore concernant la méthode de Cramer.
http://www.mathforu.com/cours-96.html
bonne continuation
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Envoyé: 02.03.2010, 16:39
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Cosmos
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Désolé, mon message s'est envolé !
Je recommence.
m=1 et m=-2 sont des cas particuliers : ils rentrent dans le cas général, il est donc inutile de les traiter à part.
Par contre m = 7 et m = -1/5 sont des cas d'exception : ils doivent impérativement être traités à part.
La méthode de Cramer dans le cas des systèmes de plus de 2 équations à plus de 2 inconnues doit être en dehors de ton programme.
Mais pour les systèmes de 2 équations à 2 inconnues, tu l'as peut-être vu en seconde.
Supposons qu'on veuille résoudre ce système :
ax + by = u
cx + dy = v
Pour calculer x on va se débarrasser de y : facile : comme pour le pivot :
dL1 - bL2 donne (ad - bc)x + 0y = ud - bv
Donc, à condition que ad - bc ne soit pas nul, on obtient
x= (ud - vb)/(ad - bc)
De même, aL2 – cL1 donne : 0x + (ad – bc)y = av – uc et donc , toujours si ad – bc est non nul :
y = (av – uc)/(ad – bc).
Ce sont les formules de Cramer.
Il est commode de noter ad – bc sous la forme
| a b |
| c d |
( les barres verticales sont jointives : on appelle cela un déterminant ).
Il suffit de retenir la façon de le calculer : on soustrait les produits en croix ( dans le bon ordre ).
Ce nombre ad – bc est le déterminant du système : s’il est non nul le système admet une solution unique donnée par les formules vues plus haut.
Remarques que le numérateur de x , ud – vb est aussi un déterminant :
| u b |
| v d |
Il a suffit de remplacer la première colonne ( constituée de a et c ) par celle des valeurs situées à droite des égalités.
Même chose pour le numérateur de y : av – uc =
| a u |
| c v |
Cette fois c’est la deuxième colonne qui a été remplacée.
Mathtous
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Envoyé: 02.03.2010, 17:38
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Galaxie
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d'accord j'ai compris merci^^
je trouve donc
|p m+2 |
|m+p m-1 |
et |9(m-1) p|
|(4m+8) m+p|
modifié par : bully5, 02 Mar 2010 - 17:39
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Envoyé: 02.03.2010, 17:43
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Galaxie
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c'est la solution?? mais je n'ai par contre pas compris m=7 et m=-1/5 étaient des cas particuliers
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Envoyé: 02.03.2010, 17:46
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Cosmos
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Attention : pour le premier, celui qui fournira x, il faut tenir compte des signes des coefficients.
Mais il manque le déterminant principal : celui du système :
| 9(m-1) -(m+2) |
| 4m+8 - (m-1) |
Commence par calculer ce déterminant , on verra les autres après.
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Envoyé: 02.03.2010, 17:56
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Galaxie
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donc
|p m-2 |
|m+p m+1 |
comme ceci?
ce qui donne x=p(m+1)-(m+p)(m-2)
non?
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Envoyé: 02.03.2010, 18:02
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Cosmos
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Pas du tout.
Le numérateur de x est :
| p -(m+2) |
| m+p -(m-1) |
Ce qui donne non pas x mais seulement le numérateur de x :
-p(m-1) - [-(m+p)(m+2)]
Pour avoir le dénominateur, tu dois calculer :
| 9(m-1) -(m+2) |
| 4m+8 -(m-1) |
Désolé, les espaces ne sont pas respectés.
C'est ce dernier déterminant qu'il faut calculer en premier car, devant figurer au dénominateur, il ne doit pas être nul.
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Envoyé: 02.03.2010, 18:08
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Cosmos
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Désolé mais je dois me déconnecter.
Si ce n'est pas urgent on pourra continuer demain.
Sinon, je pense qu'Iron et Lind sont connectés. Tu peux être tranquille : ce sont des " épées ", et il va certainement en venir d'autres.
Mathtous
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Envoyé: 02.03.2010, 18:12
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Galaxie
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J'avais une chance sur 2 de me tromper !! en tout cas merci de votre patience 
je trouve pour x=( m²+2m+p)/(13m²+4m-25)
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Envoyé: 03.03.2010, 10:53
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Cosmos
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Je ne trouve pas cela : peux-tu détailler les calculs ?
Commence par le déterminant du système :
| 9(m-1) -(m+2) |
| 4m+8 -(m-1) |
= -9(m-1)² - [- (4m+8)(m+2)]
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 09:14
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Galaxie
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d'accord^^
-9m²+18m-9+4m²+8m+8m+16
=-5m²+34m+7
Ceci est ce mieux?
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Envoyé: 04.03.2010, 10:19
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Cosmos
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Bonjour,
Oui : je crois que c'est bien le déterminant du système.
Tu peux maintenant calculer celui qui donne le numérateur de x , et celui qui donne le numérateur de y.
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 10:39
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Galaxie
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comme numérateur de x et de y je trouve 3p+m²+2m
pour le dénominateur de y je trouve |9(m-1) p|
|(4m+8) m+p|
ce qui donne : 9m²+9mp-9m-9p -4mp-8p= 9m²+5mp-9m-17p
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Envoyé: 04.03.2010, 10:44
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Cosmos
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C'est ce que je trouve aussi.
Maintenant commence la discussion : Pour pouvoir appliquer les formules de Cramer, le dénominateur ( le déterminant du système ) ne doit pas être nul.
Tu dois donc commencer par chercher les valeurs qui annuleraient ce dénominateur.
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 10:53
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Galaxie
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je comprends mieux maintenant le m=7 et -1/5
mais on doit tatonner à la calculatrice pour trouver les valeurs???
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Envoyé: 04.03.2010, 10:56
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Cosmos
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dernière visite: 21.05.12
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Tu ne sais pas résoudre une équation du second degré ?
-5m² + 34m + 7 = 0
Tu calcules Δ = 34² - 4*(-5)*7 = 1296 = 36²
etc ...
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 11:09
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Galaxie
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ah mais c'est ce que j'avais fait mais j'avais obtenu un truc impossible...
...ah oui ça marche^^ merci bien
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Envoyé: 04.03.2010, 11:13
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Cosmos
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dernière visite: 21.05.12
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Ensuite, la discussion fait intervenir trois cas dont certains se subdivisent :
1) si m≠7 et m≠-1/5 alors le système admet une solution unique donnée par les formules de Cramer
2) Si m = 7 : tu regardes, ça va dépendre de p : ou bien il y aura une infinité de solutions, ou bien il n'y en aura aucune.
3) Même chose si m = -1/5
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 11:26
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Galaxie
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dernière visite: 05.03.10
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autrement dit je remplace dans l'équation de départ m par7 et m par -1/5?
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Envoyé: 04.03.2010, 11:27
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Cosmos
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Pas en même temps.
D'abord, tu remplaces m par 7.
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 11:30
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Galaxie
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oui oui ^^
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Envoyé: 04.03.2010, 11:34
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Cosmos
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Je vais bientôt me déconnecter, et je ne serai pas là cet après-midi.
Essaie de ne pas trop traîner.
Mais il y aura bien du monde cet après-midi pour t'aider.
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 11:39
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Galaxie
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pour m= 7 je trouve deux valeurs différentes pour y
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Envoyé: 04.03.2010, 11:40
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Galaxie
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dernière visite: 05.03.10
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ok je fais encore des maths cet après m'
merci bien!!
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Envoyé: 04.03.2010, 11:41
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Cosmos
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dernière visite: 21.05.12
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Ecris les équations obtenues pour m = 7.
Il ne peut pas y avoir deux valeurs différentes pour y : ou bien il n'y en a pas, ou bien il y en a une infinité.
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 11:42
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Galaxie
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dernière visite: 05.03.10
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ok
54x-9y=p
36x-6y=7+p
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Envoyé: 04.03.2010, 11:44
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Galaxie
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dernière visite: 05.03.10
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x=p/54+y/6
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Envoyé: 04.03.2010, 11:47
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Galaxie
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dernière visite: 05.03.10
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je remplace dans l'autre équation, ce qui donne :
36(p/54+y/6)-6y=7+p
2/3p=7+p
1/3p=-7
p=-21
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Envoyé: 04.03.2010, 11:49
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Cosmos
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dernière visite: 21.05.12
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Tu remarques que les membres de gauche sont proportionnels.
Si les membres de droite sont dans la même proportion, il y aura une infinité de solutions : en fait les deux équations seront équivalentes.
Dans le cas contraire, les deux équations seront contradictoires, et il n'y aura aucune solution.
Ca dépend de p.
Pense à l'aspect géométrique : droites confondues ou droites parallèles.
Je te montre :
54x - 9y = p ⇔ 9(6x-y) = p
36x-6y=7+p ⇔ 6(6x-y) = 7+p
On cherche donc pour quelle (s ) valeur de p on a p/9 = (7+p)/6
Continue
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 11:55
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Galaxie
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dernière visite: 05.03.10
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oulààà j'étais partie vraiment au bout du monde..;
je trouve p=-21
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Envoyé: 04.03.2010, 11:59
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Cosmos
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dernière visite: 21.05.12
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Ah! tu as posté pendant que j'écrivais.
Mais tu as la bonne valeur : p = -21
Donc, si p = -21 , les deux équations sont équivalentes : elles n'en forment qu'une : en simplifiant : 6x - y = -7/3 ( c'est l'équation d'une droite ).
Il y a donc une infinité de solutions ( x ; 6x + 7/3 ).
Mais si p ≠ -21, il n'y a aucune solution ( si tu écris les équations : ce sont celles de deux droites parallèles ).
Ensuite le cas m = -1/5 se traite de la même façon.
L'exercice est fastidieux mais facile.
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 12:01
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Galaxie
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dernière visite: 05.03.10
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j'essaie avec m=-1/5
ce qui donne :
(-54/5)x+(9/5)y=p ⇔(9/5)(-6x+y)=p
(36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p ⇔ (9/5)(4x+y)=(-1/5)+p
ils ne sont pas proportionnels sauf si erreurs de calcul
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Envoyé: 04.03.2010, 12:05
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Cosmos
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dernière visite: 21.05.12
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Il y a erreurs de calcul.
La seule égalité qui me parait juste est :
(36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p
Dans la première, il y a un signe qui ne va pas.
Dans la dernière, c'est la factorisation.
Mathtous
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Envoyé: 04.03.2010, 12:16
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Galaxie
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(-54/5)x+(9/5)y=p⇔(-9/5)(6x+y)=p
(36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p⇔ (6/5)(6x+y)=(-1/5)+p
-5p/9=-1/6+5p/6
je trouve p=3/5
Il y a donc une infinité de solutions (x; -6x+ 1/3)
modifié par : bully5, 04 Mar 2010 - 13:48
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Envoyé: 04.03.2010, 17:43
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Cosmos
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Non : cette ligne :
(-54/5)x+(9/5)y=p est fausse.
Et tu as triché dans la factorisation.
Reprends tes calculs : je t'avais signalé une faute de signe dans (-54/5)x+(9/5)y=p
Mathtous
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Envoyé: 05.03.2010, 10:03
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dernière visite: 05.03.10
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Bonjour,
(-54/5)x-(9/5)y=p
(-9/5)(6x+y)=p
(36/5)x +(6/5)y=(-1/5)+p⇔ (6/5)(6x+y)=(-1/5)+p
-5p/9=-1/6+5p/6
-10p/18-15p/18=-1/6
-25p/18=-1/6
p=3/25
Ceci est ce mieux?
modifié par : bully5, 05 Mar 2010 - 10:08
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Envoyé: 05.03.2010, 10:58
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Cosmos
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En tout cas, c'est ce que je trouve aussi.
Comme je te l'ai dit, l'exercice est très facile mais fastidieux à cause des calculs où on risque constamment de se tromper.
Mathtous
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