Courbes de niveau d'une fonction

Bonjour,

J'ai un DM à faire pour les vacances (2exercices postés) mais nous n'avons pas encore fait le cours et ces exercices sont de niveau difficile (écrit dans le livre). Je ne dispose que de la leçon du livre qui est très sommaire sur ce point du chapitre et je n'y arrive vraiment pas.
Pourriez-vous me donner des pistes s'il vous plaît?
Merci de bien vouloir m'aider à comprendre.

On considère la fonction f de 3 variables réelles définie par f(x ;y ;z) = x^2+y^2+z^2
Le but de l’expérience est de déterminer le triplet (x ;y ;z) minimisant f(x ;y ;z) et vérifiant :

|x+y+z=4
|2x+ y+3z=6

A. 1). a) A partir du système donné, exprimer x et y en fonction de z.
b) Déterminer alors la fonction g définie sur R telle que :
f(x;y;z)=g(z)
2). a) Montrer que la fonction g admet un minimum en z=c et dterminer la valeur de c.
b). En déduire le triplet (a;b;c), solution du problème.

B. Interprétation graphique
Dans un repère orthonormal (0 ;i ;j ;k), on considère la plan P1 d’équation x+y+z=4 et le plan P2 d’équation 2x+y+3z=6.

Montrer que P1 et P2 sont sécants suivant une droite D.
Représenter P1 et P2 dans le repère (0 ;i ;j ;k). Construire la droite D.
Soit M (x ;y ;z) un point de l’espace.
a) Exprimer OM2 en fonction de x, y et z.
b) Interpréter géométriquement la condition :
Le triplet (x ;y ;z) minimise x^2+y^2+z^2 et vérifie
|x+y+z +4
|2x+y+3z=6

c) En déduire que le point S (a ;c), où (a ;c) est le triplet solution de la partie A., est tel que (0S) est perpendiculaire à la droite D.
Vérifier par le calcul ce résultat.
d) Placer S dans le repère (0 ;i ;j ;k).
e) Montrer que OS n’est ni égale à la distance de 0 à P1, ni égale à la distance de 0 à P2.

Merci beaucoup pour votre aide.
Ausa.

pour la première question, essaie de résoudre le système en fonction de z (au lieu de chercher x,y et z tu considères que z est connu et tu cherches x et y)

Je trouve:
|z= 1- 1/2x
|z= 2- 2/3x -1/3y

Et après, ça fait : g(z)= f( ???) Quelles coordonnées prend-on?

Bonjour,

Tu dois écrire x et y en fonction de z, soit résoudre le système
x+y = 4-z
2x+y = 6 - 3z

Bonjour Noemi,

Je trouve:
|y=2+z
|x=2-2z

Donc est-ce qu'on peut écrire,
f(2-2z ; 2+z ; z) = g(z) ?? Ca fait un peu bizarre...