intégrales suite

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sil2b	Envoyé: 15.02.2010, 19:34
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	(re) bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo, merci. u est la suite définie pour tout entier n ≥ 2 par: Un= 1 +1/2 + ... + 1/n - $\int_{1}^{n} {1/x} \,\text{d}{x}$ . 1)Construire dans un repère orthonormal la courbe représentative de la fonction x → 1/x sur ]0;+∞[. 2)a) Sur les intervalles [1;2] , [2;3] et [3;4], construire respectivement les rectangles R1, R2, R3 de hauteur 1/2; 1/3; 1/4 et les rectangles R'1, R'2 et R'3 de hauteur 1; 1/2; 1/3. En déduire que 1/2 + 1/3 + 1/4 ≤ $\int_{1}^{4} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1 + 1/2 + 1/3. b) n est un entier tel que n ≥2. Montrer que 1/2 + 1/3 +...+ 1/n ≤ $\int_{1}^{n} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1+ 1/2+ ... + 1/(n-1). 3) En déduire que pour tout entier n ≥2, 0≤Un≤1. 4)a) Démontrer que pour tout entier n ≥ 2, 1/(n+1) ≤ $\int_{n}^{n+1} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1/n. b) En déduire que la suite u est décroissante. c) Montrer que la suite u est convergente. On note C sa limite (le nombre C est appelé constante d’Euler). 5)v est la suite définie pour n ≥ 2 par Vn = Un - 1/n a) Montrer à l’aide de la question 4)a) que les suites u et v sont adjacentes. b) En déduire que pour tout entier n ≥ 2, 0≤Un-C≤1/n. 2)a) j'ai tracé la courbe, j'ai pris comme unité 1 cm = 0,2 cm. comment ça se passe pour construire les rectangles ?


Noemi	Envoyé: 15.02.2010, 20:56
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Re Bonjour, Pour les rectangles : Sur l'intervalle [1;2], le rectangle à pour dimension largeur l'intervalle [1;2], hauteur 1/2 ; Sur l'intervalle [2;3], le rectangle à pour dimension largeur l'intervalle [2;3], hauteur 1/3 ; .... Tu compares ensuite les aires par rapport à la courbe.

sil2b	Envoyé: 15.02.2010, 23:17
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	il faut que je retrace la courbe, c'est mieux de prendre quoi comme unité ?

Noemi	Envoyé: 15.02.2010, 23:29
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Prend 2 cm pour unité.

sil2b	Envoyé: 16.02.2010, 00:29
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	ok, j'ai tracé la courbe et les rectangles. bon après pour démontrer l'inéquation j'arrive pas trop

Noemi	Envoyé: 16.02.2010, 10:26
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Que peux tu dire de la position de la courbe par rapport aux rectangles ?

sil2b	Envoyé: 16.02.2010, 10:53
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Que peux tu dire de la position de la courbe par rapport aux rectangles ? d'après mon graphe, la courbe est en dessous des rectangles R1, R2, R3, R'1,R'2,R'3

Noemi	Envoyé: 16.02.2010, 11:10
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Ce n'est pas possible, dans un cas, tu dois être en dessous, 1/2 + 1/3 + 1/4; (R1, R2, R3) et dans l'autre tu dois être au dessus 1 + 1/2 + 1/3 ; (R'1, R'2, R'3) Vérifie ton tracé.

Noemi	Envoyé: 16.02.2010, 11:37
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Le graphique avec les premiers rectangles.

sil2b	Envoyé: 16.02.2010, 12:45
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	ah, je me suis trompé quand j'ai tracé les rectangles. donc je comprend bien l'inéquation mais à chaque fois je ne sais pas démontrer

Noemi	Envoyé: 16.02.2010, 12:56
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Pour le tracé que j'ai transmis, la somme des aires des rectangles est : 1/2 + 1/3 + 1/4 Tous les rectangles sont en dessous de la courbe, donc la somme est inférieure à l'intégrale. Pour les autres rectangles, ils sont tous au dessus de la courbe, donc la somme est supérieure à l'intégrale. D'ou l'écriture de l'inéquation. Si on construit n rectangles, on en déduit l'inéquation à l'ordre n.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 11:33
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	bonjour, ok pour la question 2)a). 2)b) c'est la même inéquation sauf que c'est à l'ordre de n, donc l'inéquation est aussi vraie, comme tu as dit avant? mais comment justifier

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 11:42
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Bonjour, On considère juste que l'on étend à l'ordre n. La question est juste montrer .... et non démontrer.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 11:56
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	ok. donc je peut juste écrire, si on étend à l'ordre n l'inéquation 1/2 + 1/3 + 1/4 ≤ $\int_{1}^{4} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1 + 1/2 + 1/3 on a 1/2 + 1/3 +...+1/n ≤ $\int_{1}^{n} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1 + 1/2 +...+1/(n-1) ?

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 12:04
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Oui, C'est correct.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 12:27
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	ok. 3) si la somme des aires des triangles R1;R2 et R3 est plus petites que l'intégrale, je ne comprend pas comment on peut avoir 0≤Un≤1

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 12:55
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Tu sais que : 1/2 + 1/3 +...+ 1/n ≤ $\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}$ soit 1/2 + 1/3 +...+ 1/n - $\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}$ ≤ 0 Et Un = 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n - $\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}$ Un = 1 + k ( avec k ≤ 0) donc Un ≤ 1

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 13:12
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	d'accord mais comment on sait que Un ≥ 0 ?

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 13:16
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Pour Un ≥0, tu prends les deux termes de droite de l'inéquation.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 13:53
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Pour Un ≥0, tu prends les deux termes de droite de l'inéquation. quels termes ?

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 13:59
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	$\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}\leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}3{} + .....\frac{1}{n-1}$

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 15:43
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi $\int_{1}^{n}{\frac{1}{x}dx}\leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}3{} + .....\frac{1}{n-1}$ je ne vois toujours pas pour montrer qu Un ≥0

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 15:56
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	D'après l'inéquation précédente, $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n-1}-\int_{1}^{n}{f(x)dx}\geq 0$ donc $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}-\int_{1}^{n}{f(x)dx}\geq 0$

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 16:24
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi D'après l'inéquation précédente, $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n-1}-\int_{1}^{n}{f(x)dx}\geq 0$ donc $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ .... + \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}-\int_{1}^{n}{f(x)dx}\geq 0$ je suis désolé mais je n'arrive pas à comprendre comme obtenir ça d'après 1/2+1/3+...+1/n ≤ $\int_{1}^{n} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1+1/2+...+1/(n-1).

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 16:28
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Tu prends en compte que la dernière inéquation et tu fais passer l'intégrale à droite.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 17:08
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Tu prends en compte que la dernière inéquation et tu fais passer l'intégrale à droite. donc je me retrouve avec 1/2+1/3+...+1/n ≤ 1+1/2+...+ 1/(n-1) - $\int_{1}^{n} {1/x} \,\text{d}{x}$

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 17:13
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Non a ≤ b ≤ c équivalent ) a ≤ b et b≤ c et si b≤ c alors c - b ≥ 0 Si tu soustrais b a - b ≤ b - b ≤ c - b soit a- c ≤ 0 ≤ c - b

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 17:26
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Non a ≤ b ≤ c équivalent ) a ≤ b et b≤ c et si b≤ c alors c - b ≥ 0 Si tu soustrais b a - b ≤ b - b ≤ c - b soit a- c ≤ 0 ≤ c - b ah d'accord ! donc on a 1+1/2+...+ 1/(n-1) - $\int_{1}^{n} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≥0. mais ce qui me gêne c'est 1/(n-1). pour Un on a 1/n ?

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 17:29
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Tu ajoutes 1/n de part et d'autre de l'inégalité, cela fait ≥ 1/n donc ≥ 0 car n >0.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 17:52
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Tu ajoutes 1/n de part et d'autre de l'inégalité, cela fait ≥ 1/n donc ≥ 0 car n >0. d'accord. 4)a) on doit commencer par où

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 18:02
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Ecris l'inégalité précédente à l'ordre n+1.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 18:07
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Ecris l'inégalité précédente à l'ordre n+1. et comment ça se fait que 1 1/2 1/3 ... disparaissent ?

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 18:12
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Ecris l'inégalité précédente à l'ordre n+1. Puis tu soustrais les deux inéquations.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 18:30
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	à gauche : 1/2 + 1/3 +...+ 1/(n+1) - 1/2 - 1/3 -1/n à droite : 1 + 1/2 + 1/n - 1 -1/2 - 1/(n-1) ?

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 18:35
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Donc il reste à gauche 1/(n+1) et à droite 1/n au centre l'intégrale de 1/x pour x variant de n à n+1. Pour la décroissance de la suite tu calcule U_n+1-U_n en utilisant l'inéquation.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 19:04
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Donc il reste à gauche 1/(n+1) et à droite 1/n au centre l'intégrale de 1/x pour x variant de n à n+1. Pour la décroissance de la suite tu calcule U_n+1-U_n en utilisant l'inéquation. ok, mais un moment on a , 1/(n+1) - 1/n ≤ $\int_{1}^{n+1} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1/n - 1/(n+1) comment on arrive à 1/(n+1)≤ $\int_{1}^{n+1} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1/n ?

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 20:27
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Tu as : $1/2+1/3+ .... + 1/n + 1/(n+1) \leq \int_{1}^{n+1}{1/xdx}\leq 1+1/2+1/3+ ....+ 1/(n-1)+1/n$ et $1/2+1/3+ .... + 1/(n-1) + 1/n \leq \int_{1}^{n}{1/xdx}\leq 1+1/2+1/3+ ....+ 1/(n-2)+1/(n-1)$ Si tu soustrais $1/(n+1) \leq \int_{n}^{n+1}{1/xdx}\leq 1/n$

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 21:51
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	il y a des termes que je ne vois pas d'où ils sortent. donc je vais essayer de reprendre. 1/2+1/3+...+1/n ≤ $\int_{1}^{n} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1+1/2+...+1/(n-1) ça c'est l'inéquation de départ pour la question 4)a). donc tu m'a dit de mettre cette inéquation à l'ordre de n+1 donc ça donne : 1/2+1/3+...+1/(n+1) ≤ $\int_{1}^{n+1} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1+1/2+...+1/n après tu m'a dit de soustraire ces 2 inéquations : 1/(n+1)-1/n ≤ $\int_{1}^{n+1} {1/x} \,\text{d}{x}$ ≤ 1/n-1/(n-1) après je sais pas. c'est bien ça jusqu'ici ? pace que la je suis vraiment paumé

Noemi	Envoyé: 17.02.2010, 22:04
Modératrice enregistré depuis: janv.. 2009 Messages: 15343 Status: hors ligne dernière visite: 08.02.12	Non, Tu fais la même erreur 1/2 + 1/3 + 1/4 + ......+ 1/n les .... veulent indiquer que l'on effectue la somme jusqu'à la valeur n Par exemple si n = 10 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 Donc le terme avant 1/n c'est 1/(n-1) et celui avant 1/(n-1) c'est 1/(n-2) J'ai indiqué le résultat dans mon précédent post.

sil2b	Envoyé: 17.02.2010, 22:27
Cosmos enregistré depuis: déc.. 2009 Messages: 829 Status: hors ligne dernière visite: 22.03.10	Noemi Tu as : $1/2+1/3+ .... + 1/n + 1/(n+1) \leq \int_{1}^{n+1}{1/xdx}\leq 1+1/2+1/3+ ....+ 1/(n-1)+1/n$ et $1/2+1/3+ .... + 1/(n-1) + 1/n \leq \int_{1}^{n}{1/xdx}\leq 1+1/2+1/3+ ....+ 1/(n-2)+1/(n-1)$ Si tu soustrais $1/(n+1) \leq \int_{n}^{n+1}{1/xdx}\leq 1/n$ donc ok. mais tu soustrais quels membres avec quals membres parceque je n'obtiens pas le même résultat