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Envoyé: 14.02.2010, 19:46
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Constellation
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Bonsoir,
J'ai un petit problème à la 2ème question:
On considère la fonction f définie sur R par f(x)= x/x²+x+1
1. Etudier les variations:
f'(x)=(x-1)(x+1)/(x²+x+1)²
__________________________________
x| -00 -1 1 +00
__________________________________
f'(x)|- 0 + 0 -
__________________________________
f(x)| 0 déc. -1 crois 1/3 déc 0
2.a Montrer que pour tout entier naturel n, la double inégalité 0≤Un≤1/(n+1)
b En déduire que la suite (Un) est convergente et donner sa limite
Je n'arrive pas à démontrer l'inégalité pouvez vous me donner une piste svp??
Merci d'avance pour votre aide 
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Envoyé: 14.02.2010, 20:45
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Modératrice
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Bonsoir,
1. Il manque un moins à la dérivée.
2. Quelle est la relation pour Un ?
Tu dois utiliser le résultat obtenu au 1.
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Envoyé: 14.02.2010, 20:53
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Constellation
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f'(x)=(x²+x+1)-x(2x+1)/(x²+x+1)²
= -x²+1/(x²+x+1)²
=(1-x)(1+x)/(x²+x+1)²
NON??
2.démonstration par récurrence:
Pn: 0≤Un≤1/(n+1)
Initialisation: n=0; 0≤Uo≤1
Hérédité: On suppose qu'il existe un certain n tel que 0≤Un≤1/(n+1) et montrons que cette proposition est vraie pour n+1 i.e :
0≤Un+1≤1/(n+2)
0≤Un+1≤1/(n+2)
0≤f(Un)≤1/(n+2)
0≤Un/(Un²+Un+1)≤1/(n+2)
Mais ensuite je ne sais pas comment faire
Merci de votre aide
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Envoyé: 14.02.2010, 21:00
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Modératrice
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La dérivée est juste.
Je suppose que Un = n/(n²+n+1)
Quel que soit x, f(x) ≥0, soit Un > 0
(n²+n+1)/n = ......
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Envoyé: 14.02.2010, 21:05
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Constellation
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1/Un
Comment vous faites pour trouver ça? vous partez d'où?
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Envoyé: 14.02.2010, 21:11
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Modératrice
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Pour trouver quoi ?
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Envoyé: 14.02.2010, 21:14
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Constellation
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pourquoi vous me demandez:(n²+n+1)/n
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Envoyé: 14.02.2010, 21:21
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Modératrice
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je cherche un encadrement de (n²+n+1)/n pour en déduire un encadrement de
1/[(n²+n+1)/n]
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Envoyé: 14.02.2010, 21:34
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Constellation
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pourquoi on ne ferait pas 0≤Un≤1/n+1
f(0)≤f(Un)≤f(1/n+1)
0≤Un+1≤(n+1)/(n²+3n+3)
0≤Un+1≤(n+1)/(n+2)
Or (n+1)/(n+2)>1/n+2
donc 0≤Un+1≤1/(n+2)
La relation de récurrence est vérifiée, non?
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Envoyé: 14.02.2010, 21:42
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Modératrice
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Comment est définie la suite Un ?
Comment tu passes de
0≤Un+1≤(n+1)/(n²+3n+3) à
0≤Un+1≤(n+1)/(n+2) ?
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Envoyé: 14.02.2010, 21:50
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Constellation
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Elle est juste définie par la relation Un+1 = f(Un)
Mais on s'en fiche puisqu'on le démontre par récurrence!
non je me suis plantée : c'est faux pour le calcul!
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Envoyé: 14.02.2010, 21:55
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Constellation
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f(1/n+1)= (1/n+1)/((1/n+1)²+(1/n+1)+1)=(n+1)/(n+2+(n+1)²)< 1/(n+2)
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Envoyé: 14.02.2010, 21:59
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Le passage :
(n+1)/(n+2+(n+1)²)< 1/(n+2)
est un peu rapide
mais c'est juste.
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Envoyé: 14.02.2010, 22:17
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Constellation
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d'accord merci
j'ai encore quelques petites questions:
b. En déduire que la suite (Un) est convergente et donner sa limite
Sur [0, 1/n+1] la suite est croissante et majorée donc elle converge vers l. f(l)=l/(l²+l+1)
1-1/(l²+l+1)=0
l²+l=0
l(l+1)=0
l=0 ou l=-1
donc l=0 non??
3.a Vérifier que 1/(Uk+1 = Uk+1+1/Uk
=(Uk²+Uk+1)/Uk
Mais ensuite je ne trouve pas!!
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Envoyé: 14.02.2010, 22:32
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Modératrice
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Un ≥0, donc l = 0
Ecris (Uk²+Uk+1)/Uk avec trois rapports.
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Envoyé: 14.02.2010, 22:53
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Constellation
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ok  c'est bon j'ai compris merci^^
3.bEn déduire, en utilisant également la question 2a que pour tout n ≥1
1/(Un)≤n+1+∑( de k=1 à k=n) 1/k
Je comprends bien la première partie de l'inégalité , on passe par l'inverse mais après je ne comprend pas comment on trouve : ∑( de k=1 à k=n) 1/k
3.c Montrer que pour tt entier naturel n supérieur ou égal à1
∑( de k=1 à k=n) 1/k≤ ln n+1
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Envoyé: 14.02.2010, 23:13
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Ecris la relation de
1/Un
puis 1/Un-1
puis 1/Un en fonction de Un-2
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Envoyé: 15.02.2010, 12:07
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Constellation
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1/Un= Un-1+1+1/Un-1
1/Un-1= Un-2+1+1/Un-2
1/Un+1<1/Un<1/Un-1
= Un+1+1/Un< Un-1+1+1/Un-1< Un-2+1+1/Un-2
Comme cela?
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Envoyé: 15.02.2010, 12:40
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1/Un= Un-1+1+1/Un-1
1/Un-1= Un-2+1+1/Un-2
1/Un-2 = ...
soit
1/Un= Un-1+1+Un-2+1+1/Un-2
1/Un = Un-1 + Un-2+2 + 1/Un-2
Si tu continues
1/Un = ...
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Envoyé: 15.02.2010, 21:24
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Constellation
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ah d'accord merci j'ai compris^^
c. Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 ,∑( k=1 à n) 1/k ≤ln n +1
Je ne vois pas comment on peut obtenir du ln??
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Envoyé: 15.02.2010, 21:36
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Fais une démonstration par récurrence.
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Envoyé: 15.02.2010, 21:48
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Constellation
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oki merci
pour k=1
1≤1
on suppose que pour un certain entier naturel n tel que Pn est vraie et montrons que pour n+1 tel que Pn+1 est vraie
∑1/n≤lnn+1
après je bugg!!
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Envoyé: 15.02.2010, 21:59
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Démontre la relation au rang n+1.
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Envoyé: 15.02.2010, 22:10
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Constellation
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c'est ce que je veux faire mais il faut bien que je parte de l'inéquation au rang n!
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